in puncto O contingens, aio sphæram YN etiam a sphsera OTS contactam iri.
Producatur recta VO, donec sphærte OTS occurrat in Q: rectangulum igitur QVO, ex primo lemmate, est æquale SVT. Sed rectangulum SVT, ex constructione, est equale rectangulo RVM cui, ex secundo lemmate, est tequale rectangulum sub VO et recta per puncta V et O ad superficiem sphæricam sphteræ YN product: ergo punctum Q est ad superficiem sphæræ YN; commune igitur est et superficiei sphler YNN et superficiei sphæræ OTS.
Aio has duas sphæras in puncto eodem Q se contingere. Ducatur enim a puncto V qutelibet recta in quolibet piano < per quodlibet punctum > sphære OTS, et sit, verbi gratia, VZ, quæ producta secet sphæras tres in punctis Z, D, H, K, P, B. Rectangulum ZVB in sphera OTS, per primum et secundum lemma, est tquale DVP rectangulo, sphteris duabus XM et YN terminate. Sed DV est major recta VZ; quum enim sphtera OTS tangat exterius sphæram XM in puncto O, recta secans sphweram OTS prius ipsi occurret quam sphtere XM1. Quum ergo probatum sit rectangulum DVP æquari rectangulo ZVB, et recta ZV sit minor recta DV, ergo recta PV erit minor rectaI BV; punctum igitur B extra spheram YN cadet.
Simili ratiocinio concludetur omnia puncta sphxerwe ambientis exterius cadere, preter puncturm Q. Tangit igitur sphera OTS spheram YN; quod erat demonstrandum.
Nec absimilis aul difficilior in contactibus interioribus et in omnibus casibus demonstratio.
Lemma IV. - Sit planum AC (fig. 60) et sphæra DGF, cujus centrum O. Per centrum O ducatur FODB perpendicularis ad planun, et a puncto F ducatur recta quevis ad planum, sphleram secans in G et planum in A. Aio rectangulum AFG æquari rectangulo BFD.
Nam secentur sphæra et planum datum per planum trianguli ABF, et fiat circulus GFD in sphæra, in plano autem recta ABC. Quum recta FB sit perpendicularis ad planum AC, erit etiam perpendicularis ad
