125, quorum nullus est primus numerus, quum quilibet multos habeat metientes ; unusquisque tamen e duobus quadratis conflatur, primus scilicet ex quadratis 36 et 9, secundus ex quadratis 81 et 36, tertius ex quadratis 100 et 25.
Vera limitatio hæc est, generalis nempe et omnes numeros inutiles excludens :
Oportet datum numerum non esse imparem, neque duplum ejus unitate auctum, per maximum quadratum ex quo mensuratur divisum, dividi a quovis numero primo unitate minori quam multiplex quaternarii.
(Ad commentarium in quæstion. XIV Libr. V.)
Quæstio Diophanti. - Unitatem dividere in tres numeros et cuilibet addere datum eumdem numerum et ita quemlibet quadratum facere. Oportet autem datum neque binarium esse neque aliquem eorum qui fit addito binario ad octonarii multiplicem.
Bachetus..... Ingeniosa est et autore digna hujusmodi limitatio. Cæterum quamvis, ut ostensum est, hæc conditio sit necessaria, non est tamen sufficiens, nam non solum numeri omnes hac limitatione comprehensi solvendæ quæstioni sunt inutiles, sed præterea numerus 9 et omnes alii qui fiunt addito 9 ad 32 vel ad aliquem ejus multiplicem, quales sunt 41, 73, 105, etc. ; nam horum triplum addita unitate neque quadratus est neque numerus e duobus vel tribus quadratis compositus....
Cæterum an hæ duæ limitationes simul sufficientes sint, ita ut per utramque simul excludantur omnes omnino numeri quorum triplum unitate auctum non est quadratus nec e duobus vel tribus quadratis compositus, non ausim temere affirmare. Equidem vix adducor ut aliter sentiam, quum in omnibus numeris ab unitate usque ad 325 id sim expertus.
Limitatio ipsa Bacheti est insufficiens, imo nec ipsius experientia satis fuit accurata, nam 37 numerus cadit in limitationem, non autem in regulam.
Vera limitatio sic concipi debet :
Exponantur duæ progressiones quadruplæ altera ab unitate, altera ab octonario, et una alteri superponatur sic :
| 1, | 4, | 16, | 64, | 256, | 1024, | 4096, | etc., |
| 8, | 32, | 128, | 512, | 2048, | 8192, | 32768, | etc. |
et considerando primo terminum primum secundæ qui est 8, oportet
