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M. COUETTE.

Toutes les conditions de notre analyse semblent devoir être réalisées quand le liquide est compris entre deux cylindres solides de longueur indéfinie et de rayons $\mathrm {R} _{0}$ et $\mathrm {R} _{1},$ le premier immobile et le second animé d’une vitesse angulaire constante $\Omega \ ;$ pourvu qu’en même temps le liquide qui se trouve au contact immédiat des parois y adhère sans aucun glissement.

4. Évaluons le frottement qu’il y exerce. Par raison de symétrie, ce frottement a évidemment une valeur constante pour tous les éléments de surface égaux d’un même cylindre limite. Il nous suffira donc de considérer un seul de ces éléments ; soit l’élément $d\omega$ perpendiculaire à l’ancien axe des $x.$ Le frottement sur cet élément se réduit évidemment à la composante^[1]

$\mathrm {Y} _{x}d\omega$

parallèle à l’axe des $y\ ;$ et l’on a^[2]

$\mathrm {Y} _{x}=\varepsilon \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right).$

En ramenant cette dernière expression aux coordonnées cylindriques, on a

${\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=2\left({\frac {\partial a}{\partial r}}-{\frac {a}{r}}\right)\sin \theta \cos \theta +r{\frac {\partial \omega }{\partial r}}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right).$

Remarquant enfin que pour l’élément considéré $\theta =0,$ on trouve pour expression du frottement sur cet élément, et, comme nous l’avons dit, sur tout autre de même surface,

$\varepsilon r{\frac {d\omega }{dr}}d\omega .$

1. Voir ma Notice, p. 22-130
2. Ibid., p. 17-125