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ÉTUDES SUR LE FROTTEMENT DES LIQUIDES.

tension du fil. Mais dans cette nouvelle position l’excentricité est devenue $\mathrm {O'O''} >\mathrm {OO'} \ ;$ il en résultera un nouveau déplacement $\mathrm {O''O'''} ,$ et ainsi de suite.

Le montage du cylindre intérieur doit donc satisfaire à trois conditions difficiles à concilier :

1^o Fixité relativement aux déplacements perpendiculaires à son axe ;

2^o Extrême mobilité autour de cet axe ;

3^o Concentricité avec le cylindre extérieur.

6. Évaluons par un calcul approximatif l’effet d’une excentricité légère. Supposons d’abord les deux axes parallèles, mais non coïncidants. Soient $a=\mathrm {R} _{1}-\mathrm {R} _{0}$ l’épaisseur moyenne de la couche liquide, et $ma=\mathrm {OO'}$ la distance des deux axes ; $m$ est un nombre compris entre 0 et 1. Je me limite au cas où le rapport ${\tfrac {a}{\mathrm {R} _{0}}}$ est très petit ; sa valeur dans mon appareil est ${\tfrac {1}{58}}$ environ. Le mouvement du liquide compris dans l’élément de volume de hauteur $h,$ limité par les deux cylindres, et par deux plans menés par l’axe du cylindre fixe et faisant entre eux l’angle $d\theta ,$ doit alors être à fort peu près le même que si ce liquide était compris entre deux plans parallèles distants de $\mathrm {MM'} ,$ l’un fixe, l’autre animé de la vitesse $\Omega \mathrm {R} _{1}.$ Le frottement qu’il exerce sur l’élément de surface $h\mathrm {R} _{0}d\theta$ du cylindre intérieur est donc

$\varepsilon h\mathrm {R} _{0}d\theta {\frac {\Omega \mathrm {R} _{1}}{\mathrm {MM'} }},$

et le moment du frottement total supporté par le cylindre intérieur est

$\mathrm {M} =\varepsilon \omega h\mathrm {R} _{0}^{2}\mathrm {R} _{1}\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{\mathrm {MM'} }}.$

On a d’après la figure

${\overline {\mathrm {O'M'} }}^{2}={\overline {\mathrm {OM'} }}^{2}+{\overline {\mathrm {OO'} }}^{2}-\mathrm {OM'} \times \mathrm {OO'} \cos \theta ,$