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M. COUETTE.

c’est-à-dire

$\left(\mathrm {R} _{0}+a\right)^{2}=\left(\mathrm {R} _{0}+\mathrm {MM'} \right)^{2}+m^{2}a^{2}-2\left(\mathrm {R} _{0}+\mathrm {MM'} \right)ma\cos \theta ,$

et l’on tire de cette relation, en négligeant les termes de l’ordre de $\left({\tfrac {a}{\mathrm {R} _{0}}}\right)^{2},$

$\mathrm {MM'} =a\left(1+m\cos \theta \right).$

Donc

$\mathrm {M} ={\frac {\varepsilon \Omega g\mathrm {R} _{0}^{2}\mathrm {R} _{1}}{a}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{1+m\cos \theta }}$^[1]

ou enfin

(11)

$\mathrm {M} ={\frac {2\pi \varepsilon \Omega h\mathrm {R} _{0}^{2}\mathrm {R} _{1}}{a{\sqrt {1-m^{2}}}}}.$

Si les axes des deux cylindres ne sont pas exactement

1. Calcul de l'intégral
   $\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{1+m\cos \theta }}.$
   On pose
   ${\textrm {tang}}{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+m}{1-m}}}{\textrm {tang}}\varphi ,$

   
   $\theta$ variant de 0 à $2\pi ,$ $\varphi$ varie de 0 à $\pi \ ;$

   $\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{1+{\textrm {tang}}^{2}{\frac {\theta }{2}}}}={\frac {\left(1-m\right)\cos ^{2}\varphi }{\left(1-m\right)\cos ^{2}\varphi +(1+m)\sin ^{2}\varphi }},$
   $d\theta ={\sqrt {\frac {1+m}{1-m}}}{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}d\varphi }{\cos ^{2}\varphi }}={\frac {2{\sqrt {1-m^{2}}}d\varphi }{(1-m)\cos ^{2}\varphi +(1+m)\sin ^{2}\varphi }},$
   $1+m\cos \theta ={\frac {1-m^{2}}{(1-m)\cos ^{2}\varphi +(1+m)\sin ^{2}\varphi }},$
   $\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{1+m\cos \theta }}=\int ^{\pi }{\frac {2d\varphi }{\sqrt {1-m^{2}}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {1-m^{2}}}}.$