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DES CORPS.

Désignons par les grandes lettres $\mathrm {A,B,C}$ les angles du triangle ; par les petites $a,b,c$les côtés qui leur sont respectivement opposés, et soit $\mathrm {C}$ l’angle du sommet duquel il s’agît de trouver les coordonnées.

Soient $p,q,r$, les coordonnées du point $\mathrm {A}$ ; soient $p',q',r'$, les coordonnées du point $\mathrm {B}$ ; soient $x,y,z$ les coordonnées du point $\mathrm {C}$ soit enfin désignée par $\mathrm {T^{2}}$ la fonction connue :

$1-\operatorname {\operatorname {Cos} } .^{2}a-\operatorname {\operatorname {Cos} } .^{2}b-\operatorname {\operatorname {Cos} } .^{2}c+2\operatorname {\operatorname {Cos} } .a.\operatorname {\operatorname {Cos} } .b.\operatorname {\operatorname {Cos} } .c$.

Cette fonction joue un très-grand rôle dans le calcul des triangles sphériques. Si l’on fait la somme des trois côtés $a+b+c=2s$, on aura :

$\mathrm {T^{2}} =4\operatorname {Sin} .s.\operatorname {Sin} .(s-a).\operatorname {Sin} .(s-b).\operatorname {Sin} .(s-c)$.

Elle apprend immédiatement à trouver les angles, moyennant les formules qui suivent ;

${\begin{aligned}&\mathrm {T} =\operatorname {Sin} .a.\operatorname {Sin} .b.\operatorname {Sin} .\mathrm {C} .\\&\mathrm {T} =\operatorname {Sin} .b.\operatorname {Sin} .c.\operatorname {Sin} .\mathrm {A} .\\&\mathrm {T} =\operatorname {Sin} .c.\operatorname {Sin} .a.\operatorname {Sin} .\mathrm {B} .\end{aligned}}$

Le radical T peut être donné sous une forme entièrement rationnelle, en introduisant les coordonnées des trois sommets $\mathrm {A,B,C.}$ On obtient ainsi pour $\mathrm {T}$ les trois expressions parfaitement identiques :

${\begin{aligned}&\mathrm {T} =(qr'-rq'\,)x+(rp'-pr')y+(pq'\,-qp')z\,;\\&\mathrm {T} =(q'z-r'y')p+(r'x-p'z)q+(p'y-q'x)r\,;\\&\mathrm {T} =(ry\ \,-qz\ )p'+(pz\ -rx)q'+(qx\ \,-py)r'.\end{aligned}}$

En vertu de ce qui précède, on aura, pour la solution du problème, les trois équations

${\begin{aligned}px+\ qy+\ rz&=\operatorname {\operatorname {Cos} } .b.\\p'x+q'y+r'z&=\operatorname {\operatorname {Cos} } .a.\\x^{2}+\ y^{2}+\ z^{2}&=1.\\\end{aligned}}$