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ROTATION.
La détermination des trois inconnues ne suppose ensuite que les
principes connus de l’algèbre. Il ne faut pas oublier que
![{\displaystyle p^{2}+q^{2}+r^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ca930d7f48b0df275420a9e6d8b5536f97a12a1)
,
![{\displaystyle p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/247b044db683275723dfdc57e808b2a6b70612a3)
![{\displaystyle pp'+qq'+rr'=\operatorname {Cos} .c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef7ef890f599808101a87827588d6fd3bbb42a4)
.
De ces trois équations, on déduira celles qui suivent :
![{\displaystyle (pq'-qp')^{2}+(pr'-rp')^{2}=p^{2}-2pp'\operatorname {Cos} .c+p'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7c7df2e0a41868540ef12e0da68d2d2e694b36b)
;
![{\displaystyle (qr'-rq')^{2}+(qp'-pq')^{2}=q^{2}-2qq'\operatorname {Cos} .c+q'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9adaabc6b38aa2e0d256c18e76b34a022cf4e86d)
;
![{\displaystyle (rp'-pr')^{2}+(rq'-qr')^{2}=r^{2}-2rr'\operatorname {Cos} .c+r'^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59d330b7deb82640a5a0f11cc76f3426ab5e5728)
;
et ces réductions sont nécessaires pour donner aux trois inconnues
toute la simplicité que la nature du problème permet.
Si, ensuite, pour abréger, l’on fait :
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b.\operatorname {Cos} .c=\mathrm {M} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af36f5a846158ce1b1e75558cd100b32ac2e9e93)
,
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c.\operatorname {Cos} .a=\mathrm {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a832b8c3cc5971610f012a58547e02636e67b53)
;
on trouvera, après les réductions :
![{\displaystyle x.\operatorname {Sin} .^{2}c=p\mathrm {N} +p'\mathrm {M} +(qr'-rq')\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3922fbd24dd7f759aac4b39db740bd69d9e0cf0)
;
![{\displaystyle y.\operatorname {Sin} .^{2}c=q\mathrm {N} +q'\mathrm {M} +(rp'-pr')\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e08a62ad06e05cba8821d72c0cd9d30bf7412ba)
;
![{\displaystyle z.\operatorname {Sin} .^{2}c=r\mathrm {N} +r'\mathrm {M} +(pq'-qp')\mathrm {T} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c6140e74588e621483dee41e51de1f2ba37dd8)
;
et le problème sera résolu ; il admet deux solutions, à cause de l’ambiguïté du radical ![{\displaystyle \mathrm {T.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb3f7a85f799ad4b181314be26d26ee91de7387c)
5. Corollaire I. Les deux solutions se confondent en une seule,
lorsque le point
se trouve sur l’arc
ou sur son prolongement. Le radical
doit donc disparaître alors ; ainsi, si l’on demande l’équation générale de condition, pour qu’un troisième point
de la surface sphérique, dont les coordonnées sont
, se
trouve sur l’arc de grand cercle dont la position est déterminée par
les deux points
, dont les coordonnées respectives sont