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ROTATION.

La détermination des trois inconnues ne suppose ensuite que les principes connus de l’algèbre. Il ne faut pas oublier que

$p^{2}+q^{2}+r^{2}=1$,

$p'^{2}+q'^{2}+r'^{2}=1$

$pp'+qq'+rr'=\operatorname {Cos} .c$.

De ces trois équations, on déduira celles qui suivent :

$(pq'-qp')^{2}+(pr'-rp')^{2}=p^{2}-2pp'\operatorname {Cos} .c+p'^{2}$ ;

$(qr'-rq')^{2}+(qp'-pq')^{2}=q^{2}-2qq'\operatorname {Cos} .c+q'^{2}$ ;

$(rp'-pr')^{2}+(rq'-qr')^{2}=r^{2}-2rr'\operatorname {Cos} .c+r'^{2}$ ;

et ces réductions sont nécessaires pour donner aux trois inconnues toute la simplicité que la nature du problème permet.

Si, ensuite, pour abréger, l’on fait :

$\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b.\operatorname {Cos} .c=\mathrm {M}$,

$\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c.\operatorname {Cos} .a=\mathrm {N}$;

on trouvera, après les réductions :

$x.\operatorname {Sin} .^{2}c=p\mathrm {N} +p'\mathrm {M} +(qr'-rq')\mathrm {T}$ ;

$y.\operatorname {Sin} .^{2}c=q\mathrm {N} +q'\mathrm {M} +(rp'-pr')\mathrm {T}$ ;

$z.\operatorname {Sin} .^{2}c=r\mathrm {N} +r'\mathrm {M} +(pq'-qp')\mathrm {T}$ ;

et le problème sera résolu ; il admet deux solutions, à cause de l’ambiguïté du radical $\mathrm {T.}$

5. Corollaire I. Les deux solutions se confondent en une seule, lorsque le point $\mathrm {C}$ se trouve sur l’arc $\mathrm {AB,}$ ou sur son prolongement. Le radical $\mathrm {T}$ doit donc disparaître alors ; ainsi, si l’on demande l’équation générale de condition, pour qu’un troisième point $\mathrm {C}$ de la surface sphérique, dont les coordonnées sont $x,y,z$, se trouve sur l’arc de grand cercle dont la position est déterminée par les deux points $\mathrm {A{\text{ et }}B}$, dont les coordonnées respectives sont $p,q,$