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DES CORPS.

être une conséquence nécessaire des deux autres, ce dont on peut en effet s’assurer facilement. Par leur moyen, on ne pourrait donc déterminer que le rapport entre les trois inconnues $\alpha ,\beta ,\gamma$ ; mais, en y ajoutant la quatrième équation

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$,

le problème devient entièrement déterminé. Si, pour abréger, on fait :

$\mathrm {W=A+B=C=2BC} \operatorname {Cos} .a+2\mathrm {CA} \operatorname {Cos} .b+2\mathrm {AB} \operatorname {Cos} .c,$

on aura finalement :

${\begin{aligned}\alpha \mathrm {W} &=m\mathrm {A} +p\mathrm {B} +s\mathrm {C} ;\\\beta \mathrm {W} &=n\mathrm {A} +q\mathrm {B} +t\mathrm {C} ;\\\gamma \mathrm {W} &=o\mathrm {A} +r\mathrm {B} +u\mathrm {C} ;\\\end{aligned}}$

et le problème sera résolu.

16. Si nous désignons par la lettre $\mathrm {W}$ le point, dans l’intérieur du triangle $\mathrm {ABC,}$ dont on vient de déterminer la position, par rapport aux trois axes primitifs, supposés perpendiculaires entre eux ; on trouvera la position de ce même point, par rapport aux sommets des trois angles du triangle $\mathrm {ABC,}$ moyennant les formules connues $\mathrm {(I)}$, savoir :

${\begin{aligned}\mathrm {\operatorname {Cos} .AW} &=m\alpha +n\beta +o\gamma ;\\\mathrm {\operatorname {Cos} .BW} &=p\alpha +q\beta +r\gamma ;\\\mathrm {\operatorname {Cos} .CW} &=s\alpha +t\beta +u\gamma ;\\\end{aligned}}$

ce qui devient, après la substitution et les réductions ;

${\begin{aligned}\mathrm {W\operatorname {Cos} .AW=A+B} &\operatorname {Cos} .c+\mathrm {C} \operatorname {Cos} .b\\\mathrm {W\operatorname {Cos} .BW=B+C} &\operatorname {Cos} .a+\mathrm {A} \operatorname {Cos} .c\\\mathrm {W\operatorname {Cos} .CW=C+A} &\operatorname {Cos} .b+\mathrm {B} \operatorname {Cos} .a.\\\end{aligned}}$

17. Si, en employant les formules et réductions déjà enseignées, on calcule les cosinus des arcs $\mathrm {A'W,B'W,C'W,}$ on trouvera qu’ils ne diffèrent de ceux des arcs $\mathrm {AW,BW,CW,}$ que dans