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ROTATION.
14. En vertu de ces trois rotations, le point
aura décrit l’arc
; le point
l’arc
; et le point
l’arc
. Par les suppositions du problème, ces trois arcs pourront être confondus avec leurs sinus ; et on trouve les quarrés de ces derniers par la simple application de la formule donnée (3), En employant les réductions déjà enseignées, on aura finalement :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {AA''} )^{2}&=\mathrm {B'} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}c+2\mathrm {BC} (\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b.\operatorname {Cos} .c)+\mathrm {C} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}b;\\(\mathrm {BB''} )^{2}&=\mathrm {C'} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}a+2\mathrm {CA} (\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c.\operatorname {Cos} .a)+\mathrm {A} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}c;\\(\mathrm {CC} ')^{2}&=\mathrm {A} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}b\ \,+2\mathrm {AB} (\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a.\operatorname {Cos} .b)+\mathrm {B} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}a.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d93a616e33b7bfbaff3671791f413b13410ebee)
Problème VI.
15. Les mêmes choses étant supposées que dans le problème précèdent, on demande de déterminer, dans l’intérieur du triangle, la position du point qui, à la fin des trois rotations, se retrouvera dans sa situation primitive ?
Désignant, comme dans le problème IV, par
, les coordonnées de ce point, au commencement des trois rotations, et par
, les coordonnées du même point ; à la fin de ces rotations, on aura :
![{\displaystyle x''=\alpha ,y''=\beta ,z''=\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78aeda6d73d36517495bdec7e30dd1f6b291c0e4)
;
égalant donc à zéro les trois différences
![{\displaystyle x''-\alpha ,y''-\beta ,z''-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e17d2dfe3680ca53000cdbfd94ff0414c50927d2)
;
on obtiendra les trois équations qui suivent
![{\displaystyle {\begin{aligned}o&=(n\gamma -o\beta )\mathrm {A} \ +(q\gamma -r\beta )\mathrm {B} +(t\gamma -u\beta )\mathrm {C} ;\\o&=(o\alpha -m\gamma )\mathrm {A} +(r\alpha -p\gamma )\mathrm {B} +(u\alpha -s\gamma )\mathrm {C} ;\\o&=(m\beta -n\alpha )\mathrm {A} +(p\beta -q\alpha )\mathrm {B} +(s\beta -t\alpha )\mathrm {C} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7102fde7d41e88852f5901a0901437529cb5225)
Par la nature du problème, chacune de ces trois équations doit