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RÉSOLUES.

ditions du problème ; et cette courbe sera continue ou discontinue, suivant la nature de la courbe arbitraire $\mathrm {A}$.

Analise. Soit rapporté la courbe arbitraire $\mathrm {A}$ à deux axes rectangulaires passant par $\mathrm {P}$, et supposons qu’alors son équation soit :

$y=f(x)$ ;

l’équation générale des droites $\mathrm {D}$ sera :

$y=\alpha x$,

$\alpha$ étant une indéterminée.

On obtiendra ensuite les équations de tous les points $\mathrm {C}$, en combinant entre elles les deux équations

$y=f(x),\ y=\alpha x$ ;

d’où on conclura d’abord : $f(x)=\alpha x$. Si l’on suppose que cette équation, résolue par rapport à x, donne $x=\varphi (\alpha )$, les points $\mathrm {C}$ auront pour leurs équations : $x=\varphi (\alpha ){\text{ ; }}y=\alpha \varphi (\alpha )$.

Les cercles qui auront ces points pour centres et r pour rayon auront donc pour équation générale :

$\left[x-\varphi (\alpha )\right]^{2}+\left[y-\alpha \varphi (\alpha )\right]^{2}=r^{2}$ ;

en sorte que la combinaison de cette équation avec l’équation $y=\alpha x$ de $\mathrm {D}$ fera connaître les points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ qui répondent à chaque valeur particulière de l’indéterminée $\alpha .$

Éliminant donc cette indéterminée entre ces deux équations, l’équation résultante en x et y sera celle du lieu géométrique de tous les points $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ ; elle sera donc l’équation de la courbe cherchée. L’équation la plus générale des courbes qui satisfont aux conditions du problème proposé est donc :

$\left\{x-\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)\right\}^{2}+\left\{y-{\frac {y}{x}}\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)\right\}^{2}=r^{2}$