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TRIGONOMÉTRIE.

$\mathrm {B=B'}$ ou $\mathrm {B=180^{\circ }-B'}$ ;

mais, si $\mathrm {B}$ et $\mathrm {B'}$ sont de même espèce, sans être égaux, on ne peut avoir $\mathrm {B=180^{\circ }-B'}$ ; on a donc exclusivement $\mathrm {B=B'}$ et, par conséquent, les triangles proposés sont semblables comme équiangles.

Cette proposition donne naturellement lieu au problème suivant :

2. Connaissant les angles $\mathrm {A,B,C,}$ et les côtés $a,b,c,$ d’un triangle, déterminer les angles $\mathrm {A',B',C'}$, et les côtés $a',b',c',$ d’un autre triangle qui soit tel qu’on ait : $\mathrm {A'=A} {\text{ et }}{\frac {a'}{a}}={\frac {b'}{b}}=m$, $m$ étant un nombre donné ?

Ce problème présentant quelques circonstances remarquables qui n’ont jamais été discutées, nous allons le résoudre avec tout le détail que sa nature comporte.

On connaît $a'=ma,b'=mb,\mathrm {A'=A}$, et l’on demande $c',\mathrm {B',C'}$ ; or, si l’on connaissait $c',$ on trouverait aussitôt $\mathrm {B'}$ et $\mathrm {C'}$ ; tout se réduit donc à déterminer $c'$ en fonction des données, ce qu’on fera ainsi qu’il suit :

Les deux triangles donnent respectivement :

${\begin{aligned}a^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\mathrm {\operatorname {Cos} .A} ,\\a'^{2}&=b'^{2}+c'^{2}-2b'c'\mathrm {\operatorname {Cos} .A'} ,\\\end{aligned}}$

d’où on tire, en se rappelant que ${\frac {a'}{b'}}={\frac {a}{b}}$ et que $\mathrm {A'=A,}$

${\frac {c^{2}}{b^{2}}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1+{\frac {2c}{b}}\mathrm {\operatorname {Cos} .A}$,

${\frac {c'^{2}}{b'^{2}}}={\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1+{\frac {2c'}{b'}}\mathrm {\operatorname {Cos} .A}$,

Retranchant ces deux équations l’une de l’autre, il vient :

${\frac {c'^{2}}{b'^{2}}}-{\frac {c^{2}}{b^{2}}}=2\mathrm {\operatorname {Cos} .A} \left({\frac {c'}{b'}}-{\frac {c}{b}}\right)$

équation qui revient à

$\left({\frac {c'}{b'}}-{\frac {c}{b}}\right)\left({\frac {c'}{b'}}+{\frac {c}{b}}-2\mathrm {\operatorname {Cos} .A} \right)=0$