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CONDITIONS.

toutes celles que peuvent fournir les cinq équations ($\mathrm {III}$ et $\mathrm {IV}$), par l’élimination des arbitraires qu’elles renferment ; or, comme $d-a,e-b,f-c$ se trouvent déterminées par ce qui précède, et comme d’ailleurs, en posant ${\frac {A}{C}}=M$ et ${\frac {B}{C}}=N$, nous n’avons plus que les deux arbitraires M et N, il en résulte que nos cinq équations doivent nous fournir encore trois conditions.

Pour parvenir facilement à ces conditions, soit d’abord chassé $A$ et $B$ des équations $\mathrm {(III)}$ au moyen des équations $\mathrm {(IV)}$ ; $C$ en disparaîtra aussi, et elles deviendront

${\frac {\sum (Y'x')}{\sum (Z'x')}}={\frac {e-b}{f-c}},\quad {\frac {\sum (Z'y')}{\sum (X'y')}}={\frac {f-c}{d-a}},\quad {\frac {\sum (X'z')}{\sum (Y'z')}}={\frac {d-a}{e-b}},$

mais, dans le cas présent où $X,Y,Z$ sont zéro, on tire aisément des doubles valeurs de $a,b,c,d,e,f,$

${\frac {e-b}{f-c}}={\frac {\sum (X'y')}{\sum (X'z')}},\quad {\frac {f-c}{d-a}}={\frac {\sum (Y'z')}{\sum (Y'x')}},\quad {\frac {d-a}{e-b}}={\frac {\sum (Z'x')}{\sum (Z'y')}};$

substituant donc ; il viendra

$\mathrm {(V)} \quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {\sum (Y'x')}{\sum (Z'x')}}=&{\frac {\sum (X'y')}{\sum (X'z')}},\\{\frac {\sum (Z'y')}{\sum (X'y')}}=&{\frac {\sum (Y'z')}{\sum (Y'x')}},\\{\frac {\sum (X'z')}{\sum (Y'z')}}=&{\frac {\sum (Z'x')}{\sum (Z'y')}}\,;\\\end{aligned}}\right.$

chacune de ces équations se trouvant comportée par les deux autres, elles n’équivalent qu’à deux seulement ; mais $A,B,C$ peuvent aussi être éliminées entre les équations $\mathrm {(III)}$ ; il suffit pour cela de les multiplier entre elles, et il vient ainsi, en renversant

$\sum (X'y')\sum (Y'z')\sum (Z'x')=\sum (Y'x')\sum (Z'y')\sum (X'z')\,;$