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D’ÉQUILIBRE.

équilibre, il est nécessaire et il suffit que la résultante de ce système modifié soit identique avec celle des puissances arbitrairement introduites : or, cela exige, en premier lieu, que leurs composantes parallèles aux axes soient égales, chacune à chacune ; ce qui donne d’abord

$\left.{\begin{array}{rl}X+A=&A,\\Y+B=&B,\\Z+C=&C,\\\end{array}}\right\}{\text{ ou }}\left\{{\begin{array}{rl}X=&0,\\Y=&0,\\Y=&0,\\\end{array}}\right\}{\text{ ou enfin }}\left\{{\begin{array}{rl}\sum (X')=&0,\\\sum (Y')=&0,\\\sum (Z')=&0.\\\end{array}}\right.$

Au moyen de ces conditions, les équations $\mathrm {(II)}$, les seules qui renferment les puissances du système primitif, se simplifient ; en leur retranchant en outre les équations $\mathrm {(I)}$ et chassant des dénominateurs, elles deviennent

$\mathrm {(III)} \quad \left\{{\begin{array}{rl}C\sum (Y'x')=&B\sum (Z'x'),\\A\sum (Z'y')=&C\sum (X'y'),\\B\sum (X'z')=&A\sum (Y'z').\\\end{array}}\right.$

Les équations des deux résultantes deviennent aussi, par suite des mêmes conditions,

$\left\{{\begin{array}{rcr}C(x-a)=&A(2-c),\\C(y-b)=&B(2-c),\\\end{array}}\right.\qquad \left\{{\begin{array}{rl}C(x-d)=&A(2-f),\\C(y-e)=&B(2-f);\\\end{array}}\right.$

ces résultantes se trouvent donc déjà parallèles ; il suffit donc, pour qu’elles coïncident, qu’un point de la direction de l’une satisfasse aux équations de l’autre ; on exprimera donc que leur coïncidence a lieu, et conséquemment on complétera les conditions d’équilibre, en écrivant les deux équations

$\mathrm {(IV)} \quad \left\{{\begin{array}{rl}C(d-a)=&A(f-C),\\C(e-b)=&B(f-C);\\\end{array}}\right.$

nous devons donc avoir, outre les trois conditions déjà trouvées,