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QUADRILATÈRE SPHÉRIQUE.
L’angle
;
L’angle
;
L’angle
.
Ainsi, le triangle
sera entièrement représentatif du quadrilatère bi-rectangle
; tous les angles et côtés de l’un se retrouveront dans les angles et côtés de l’autre.
6. Appliquant d’abord au triangle
le théorème par lequel, dans tout triangle sphérique, les sinus des angles sont proportionnels à ceux des côtés opposés, on aura les trois proportions qui suivent :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {A'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {L} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {E} :\operatorname {Sin} .\mathrm {S} ;\\(2).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {A} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {E} :\operatorname {Sin} .\mathrm {S} ;\\(3).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {A} \,:\operatorname {Cos} .\mathrm {L} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {L'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {A'} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6300184491ff8874916fbe5a6b68217465a01d6c)
La dernière proportion se tire immédiatement des deux triangles
et
, rectangles en
et
; ils fournissent :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cos} .\mathrm {ES} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {EA} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {AS} ;\\\operatorname {Cos} .\mathrm {ES} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {EL} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {LS} .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ffae41ad2964b1790217daf4a7003053002ed75)
d’où l’on tire :
![{\displaystyle \operatorname {Cos} .\mathrm {A} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {A'} =\operatorname {Cos} .\mathrm {L} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b224a74e9ac819c94c7a6f01ba75e061f4f3ad8)
.
7. Appliquant à ce même triangle
le théorème en vertu duquel on passe des trois côtés, supposés donnés, aux trois angles du triangle ; on aura les trois équations qui suivent :
![{\displaystyle {\begin{aligned}(4).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {S} &={\frac {\operatorname {Cos} .\mathrm {E} +\operatorname {Sin} .\mathrm {A'} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {L'} }{\operatorname {Cos} .\mathrm {A'} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} }}\,;\\(5).\quad \operatorname {Sin} .\mathrm {L} &={\frac {\operatorname {Sin} .\mathrm {A'} +\operatorname {Cos} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {L'} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} }}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3350af8882910137114fa1d76dc9b8a76e3ed6a)