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QUADRILATÈRE SPHÉRIQUE.

L’angle $\mathrm {PSQ=S}$ ;

L’angle $\mathrm {SPQ=90^{\circ }+A}$ ;

L’angle $\mathrm {SQP=90^{\circ }-L}$.

Ainsi, le triangle $\mathrm {SPQ}$ sera entièrement représentatif du quadrilatère bi-rectangle $\mathrm {AESL}$ ; tous les angles et côtés de l’un se retrouveront dans les angles et côtés de l’autre.

6. Appliquant d’abord au triangle $\mathrm {SPQ}$ le théorème par lequel, dans tout triangle sphérique, les sinus des angles sont proportionnels à ceux des côtés opposés, on aura les trois proportions qui suivent :

${\begin{aligned}(1).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {A'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {L} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {E} :\operatorname {Sin} .\mathrm {S} ;\\(2).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {A} &=\operatorname {Sin} .\mathrm {E} :\operatorname {Sin} .\mathrm {S} ;\\(3).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {A} \,:\operatorname {Cos} .\mathrm {L} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {L'} :\operatorname {Cos} .\mathrm {A'} .\end{aligned}}$

La dernière proportion se tire immédiatement des deux triangles $\mathrm {EAS}$ et $\mathrm {ELS}$, rectangles en $\mathrm {A}$ et $\mathrm {L}$ ; ils fournissent :

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .\mathrm {ES} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {EA} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {AS} ;\\\operatorname {Cos} .\mathrm {ES} &=\operatorname {Cos} .\mathrm {EL} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {LS} .\end{aligned}}$

d’où l’on tire :

$\operatorname {Cos} .\mathrm {A} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {A'} =\operatorname {Cos} .\mathrm {L} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'}$.

7. Appliquant à ce même triangle $\mathrm {SPQ}$ le théorème en vertu duquel on passe des trois côtés, supposés donnés, aux trois angles du triangle ; on aura les trois équations qui suivent :

${\begin{aligned}(4).\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {S} &={\frac {\operatorname {Cos} .\mathrm {E} +\operatorname {Sin} .\mathrm {A'} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {L'} }{\operatorname {Cos} .\mathrm {A'} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} }}\,;\\(5).\quad \operatorname {Sin} .\mathrm {L} &={\frac {\operatorname {Sin} .\mathrm {A'} +\operatorname {Cos} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Sin} .\mathrm {L'} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {E} \cdot \operatorname {Cos} .\mathrm {L'} }}\,;\end{aligned}}$