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D’ÉQUILIBRE.
Présentement, pour qu’il y ait équilibre dans le système, il est nécessaire et il suffit ( Lemme II. ) que les deux puissances auxquelles nous l’avons réduit soient à la fois égales et directement opposées : or, cela exige d’abord que les composantes de chacune, parallèles aux axes, ne diffèrent des composantes de l’autre, parallèles aux mêmes axes, que par le signe seulement ; ce qui donne 1.o
![{\displaystyle \mathrm {T'=-T,\quad U'=-U,\quad V'=-V} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e9224a1f6625a29d5186f3031d5ecf61c47029)
;
éliminant
des neuf équations ci-dessus, au moyen de celles-là, elles deviendront :
![{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Sigma (\mathrm {X} ')=0,&\mathrm {T} (u-u')=\Sigma (\mathrm {X'} y'),&\mathrm {T} (v-v')=\Sigma (\mathrm {X'} z'),\\\Sigma (\mathrm {Y} ')=0,&\mathrm {U} (v-v')=\Sigma (\mathrm {Y'} z'),&\mathrm {U} (v-v')=\Sigma (\mathrm {Y'} x'),\\\Sigma (\mathrm {Z} ')=0,&\mathrm {V} (t-t')=\Sigma (\mathrm {Z'} x'),&\mathrm {V} (u-u')=\Sigma (\mathrm {Z'} y').\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03cbb71ed598f45c8d7703ef0ec7de13b29a3697)
Alors, les deux puissances étant égales, parallèles et agissant en sens contraire, il suffira, pour leur équilibre, qu’elles aient un point commun ; c’est-à-dire, qu’il suffira que les coordonnées de l’un des points de la direction de l’une satisfassent aux équations de l’autre ; or, l’une d’elles a pour ses équations :
![{\displaystyle \mathrm {V} (x-t)=\mathrm {T} (z-v),\quad \mathrm {V} (y-u)=\mathrm {U} (z-v)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8710762cc6a9bf37b781f3f76cbd115dd86f6d92)
;
et, comme
sont les coordonnées de l’un des points de la direction de l’autre, on devra avoir 2.o
éliminant les binômes
et
des équations ci-dessus, au moyen de celles-là, et faisant en outre, pour abréger,
et
elles deviendront :
ces équations ne seront jamais impossibles, c’est-à-dire, qu’on pourra toujours y satisfaire par des valeurs réelles et finies des indéterminées qu’elles renferment.
Il en sera donc de même de tout système d’équations déduites de celles-là, par l’élimination de quelques-unes des variables entre lesquelles elles établissent des relations.