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D’ÉQUILIBRE.

ce qui donnera, en substituant les valeurs fournies par les équations $\mathrm {(K)}$,

$\sum (Y'x')=\sum (X'y');$

les conditions nécessaires et suffisantes pour l’équilibre du système primitif sont donc renfermées dans les trois équations

$\sum (X')=0,\quad \sum (Y')=0,\quad \sum (x'Y')=\sum (y'X').$

J’ai dit que les équations de l’équilibre, entre des forces non comprises dans un même plan, pouvaient conduire à la démonstration de cette proposition : Deux puissances non comprises dans un même plan ne sauraient avoir une résultante. Voici par quel procédé cette conséquence peut être déduite de ces équations.

On sait que la seule condition nécessaire et suffisante, pour qu’un système puisse admettre une résultante unique ; est exprimée par l’équation

$\left.{\begin{aligned}&\sum (X')\left[\sum (Y'z')-\sum (Z'y')\right]\\+&\sum (Y')\left[\sum (Z'x')-\sum (X'z')\right]\\+&\sum (Z')\left[\sum (X'y')-\sum (Y'x')\right]\end{aligned}}\right\}=0;\quad \mathrm {(M)}$^[1]

si l’on développe cette équation, pour le cas de deux forces seulement, elle devient, après les réductions,

$(\mathrm {N} )\ (Z'Y''-Y'Z'')(x'-x'')+(X'Z''-Z'X'')(y'-y'')+(Y'X''-X'Y'')(z'-z'')=0.$

1. Je saisirai cette occasion pour faire remarquer que c’est par une pure inadvertance que M. Prony, à la page 112 de sa Mécanique philosophique, a exprimé cette condition par trois équations. Le système a en effet une résultante unique, lorsque ces trois équations ont lieu ; mais c’est seulement parce qu’elles vérifient l’équation $\mathrm {(M)}$ ; en sorte que la résultante peut être unique, sans qu’aucune de trois équations soit vérifiée.

   Je crois cet avertissement d’autant plus utile que l’ouvrage de M. Prony est un de ceux que les jeunes géomètres peuvent consulter avec le plus de fruit, et que l’autorité d’un savant aussi recommandable pourrait facilement les induire en erreur.