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DU SECOND DEGRÉ.
7. Soit encore l’hyperbole de la fig. 11, dont l’asymptote
est parallèle à l’axe
, ce qui fera manquer, dans l’équation, le quarré de x ; soient,
![{\displaystyle \mathrm {AD=AD'=AE={\frac {2}{3}},\quad AG=3} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e311071b8a36e7bcb3d576e4b66cb474dd5650e)
;
l’asymptote
aura pour équation,
![{\displaystyle y-{\frac {2}{3}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59101ae2c12fc0a345dcdb067403077912524606)
,
et celle de l’asymptote
, ordonnée relativement à l’axe
, sera :
![{\displaystyle x+y+{\frac {2}{3}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/463ea2157791ed77b27f94917fd9fb2e6c35b73f)
,
Multipliant ces deux équations par ordre, on obtiendra pour celle du système asymptotique :
![{\displaystyle 3xy+3y^{2}-2x-{\frac {4}{3}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e87ed6f9d8dfea3806a8e8df6a7d8a454bea63)
.
Mais, à cause de
on voit que l’hypothèse de
entraînera la condition
, d’où :
![{\displaystyle -2x+6=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f72df076a83ce2c70ecbe9c571df63f54c7db3f)
;
ce qui fait voir que le terme indépendant des variables doit être +6, et qu’ainsi l’équation cherchée sera :
![{\displaystyle 3xy+3y^{2}-2x+6=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b402f4f09b4d85650329fe0f26f696f63966d82d)
;
ce qui se vérifiera aisément par la discussion.
8. 3.o Pour la parabole. En revenant à l’équation générale (1) et laissant d’abord la valeur de y sous cette forme ;
![{\displaystyle y=-\mathrm {\tfrac {(Bx+D)}{2A}} \pm {\tfrac {1}{2A}}{\sqrt {\mathrm {(B^{2}-4AC)} x^{2}+2\mathrm {(BD-2AE)} x+\mathrm {(D^{2}-4AF)} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3446a12d293568876bc9dbd73815ceb100265792)
;
on voit que la condition attachée à la parabole,
![{\displaystyle \mathrm {B^{2}-4AC=0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af59b3b26a4cd58ca8540a2c307312190d804581)
,
réduit cette valeur à ce qui suit :
![{\displaystyle y=-\mathrm {\frac {(Bx+D)}{2A}} \pm \mathrm {\frac {1}{2A}} {\sqrt {2\mathrm {(BD-2AE)} x+\mathrm {(D^{2}-4AF)} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74bfbb52622d8690019c0b522f435c8c3c4e400)
;
valeur qui peut se mettre sous cette forme :