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DU SECOND DEGRÉ.

7. Soit encore l’hyperbole de la fig. 11, dont l’asymptote $\mathrm {OS}$ est parallèle à l’axe $\mathrm {AX}$, ce qui fera manquer, dans l’équation, le quarré de x ; soient,

$\mathrm {AD=AD'=AE={\frac {2}{3}},\quad AG=3}$ ;

l’asymptote $\mathrm {OS}$ aura pour équation,

$y-{\frac {2}{3}}=0$,

et celle de l’asymptote $\mathrm {OZ}$, ordonnée relativement à l’axe $\mathrm {AY}$, sera :

$x+y+{\frac {2}{3}}=0$,

Multipliant ces deux équations par ordre, on obtiendra pour celle du système asymptotique :

$3xy+3y^{2}-2x-{\frac {4}{3}}=0$.

Mais, à cause de $\mathrm {AG=3,}$ on voit que l’hypothèse de $y=0$ entraînera la condition $x=3$, d’où :

$-2x+6=0$ ;

ce qui fait voir que le terme indépendant des variables doit être +6, et qu’ainsi l’équation cherchée sera :

$3xy+3y^{2}-2x+6=0$ ;

ce qui se vérifiera aisément par la discussion.

8. 3.^o Pour la parabole. En revenant à l’équation générale (1) et laissant d’abord la valeur de y sous cette forme ;

$y=-\mathrm {\tfrac {(Bx+D)}{2A}} \pm {\tfrac {1}{2A}}{\sqrt {\mathrm {(B^{2}-4AC)} x^{2}+2\mathrm {(BD-2AE)} x+\mathrm {(D^{2}-4AF)} }}$ ;

on voit que la condition attachée à la parabole,

$\mathrm {B^{2}-4AC=0}$,

réduit cette valeur à ce qui suit :

$y=-\mathrm {\frac {(Bx+D)}{2A}} \pm \mathrm {\frac {1}{2A}} {\sqrt {2\mathrm {(BD-2AE)} x+\mathrm {(D^{2}-4AF)} }}$ ;

valeur qui peut se mettre sous cette forme :