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PROBLÈME.
donné,
et
les deux points cherchés,
et
les deux parallèles conduites respectivement par ces points, et enfin
et
leurs intersections respectives avec
et
; il s’agit de déterminer les points, et
et
de manière que, quelle que soit d’ailleurs la direction commune des deux parallèles
et
, le point
soit toujours en ligne droite avec les points
et
Solution. Soit pris le sommet
de l’angle donné pour origine des coordonnées, son côté
pour axe des
et son côté
pour axe des
; désignons les coordonnées
du point donné
![{\displaystyle \ \ \mathrm {O} \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba1a316b7e8d9d438dfeeb0b8376a6691015a364)
par
![{\displaystyle \ldots \alpha ,\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa9d9368f942ecc13fee3a21ef3660bdad8b715)
du point cherché
![{\displaystyle \mathrm {P} \,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/474f6d0b4572a58cc15e284740b90be425340d87)
par
![{\displaystyle \ldots x',y',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c46bf5c999e197c08f0eecb0690cecffcd6e9bb0)
du point cherché
![{\displaystyle \mathrm {P',} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a7d7cc1e74dfa7a41e6d4022af8364fe0911f5)
par
![{\displaystyle \ldots x'',y''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4613c1724814b5262525992151dc4e352cb1933c)
Les équations des deux parallèles arbitraires
et
conduites par
et
, seront de la forme :
![{\displaystyle y-y'=\mathrm {N} (x-x'),\quad y-y''=\mathrm {N} (x-x'')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f82c08f037b75cfc6f1f0ab337ea62097a3018)
:
où
demeurera indéterminée.
On trouvera, d’après cela, pour les coordonnées
de
![{\displaystyle \mathrm {K} \cdots {\frac {\mathrm {Nx} '-y'}{\mathrm {N} }},\quad 0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b650b3f62f2b9b13b294befcc487a36d4b8e44)
de
![{\displaystyle \mathrm {K} '\cdots \cdots \cdots \ \ \ 0,\quad y''-\mathrm {Nx} ''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd96fd1a501dd139a74d8df28509ea23695caa78)
L’équation de condition, pour que trois points
, soient en ligne droite, étant :
![{\displaystyle x'(y''-y''')+x''(y'''-y')+x'''(y'-y'')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5308432d4c5814cdf4b7f12db7d1021d991cffd)
,
donne, appliquée aux points
![{\displaystyle \alpha (\mathrm {N} x''-y'')+{\frac {\mathrm {N} x'-y'}{\mathrm {N} }}\left\{(y''-\mathrm {N} x'')-\beta \right\}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b41e3dcf4f1f7e419c401e54bf1da72f77ffbf)
,
ou ;
;
équation qui, à raison de l’indétermination de
, se partage dans les trois suivantes :
![{\displaystyle \mathrm {(A)} \quad \left\{{\begin{array}{lc}&x''(x'-\alpha )=0,\qquad y'(y''-\beta )=0,\\&y''(x'-\alpha )+x''y'-\beta x'=0\,;\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bc4ad3fbfed1f795586b11f6371db0caf73856)