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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION, etc.

pour qui ce qu’on en a écrit paraîtrait insuffisant ; et je tacherai de trouver grâce auprès des autres, soit par la manière dont je présenterai cette recherche, soit par les applications que j’en déduirai.

1. Soient en premier lieu, entre les deux inconnues x et y, les deux équations complètes du premier degré :

$ax+by+c=0,\qquad a'x+b'y+c'=0$,

on sait qu’elles donnent, étant résolues,

$x=-{\frac {cb'-bc'}{ab'-ba'}},\qquad y=-{\frac {ac'-ca'}{ab'-ba'}}$ ;

et ce que nous proposons ici est de savoir dans quel cas le problème qui aura conduit à ces équations demeurera indéterminé.

2. Or, il est clair qu’il faut, pour cela, que les deux équations n’expriment pas deux conditions distinctes, c’est-à-dire, qu’il faut qu’elles n’équivalent qu’à une seulement, ou encore que le premier membre de l’une soit le produit du premier membre de l’autre par un certain multiplicateur^[1]. Désignant donc ce multiplicateur par $m,$ il viendra :

$a'x+b'y+c'=m(ax+by+c)=0$,

d’où on déduira les équations de condition :

$ma=a',\qquad mb=b',\qquad mc=c'$ :

desquelles éliminant $m,$ on aura,

$ac'-ca'=o,\qquad bc'-cb'=0$ ;

Et telles sont les relations nécessaires entre les quantités connues $a,b,c,a',b',c',$ pour que les deux équations proposées ne soient pas essentiellement différentes l’une de l’autre, et par conséquent se réduisent à une seule ; ce qui rend le problème indéterminé.

1. Ce cas répond, en géométrie, à celui où cherchant l’intersection de deux droites tracées sur un même plan, il arrive que ces droites se confondent.