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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.
et réduisent conséquemment à
les valeurs des inconnues ; il arrivera que l’une des deux premières équations sera le produit de l’autre par un certain multiplicateur, qu’on pourra supposer
pour la première et
pour la seconde ; si, en effet, l’on écrit l’équation ;
![{\displaystyle a'x+b'y+c'z+d'={\frac {d'}{d}}(ax+by+cz+d)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6358f3e051ecf9d444c573f5e93e20eafef6cdba)
;
elle deviendra, en chassant le dénominateur et transposant,
![{\displaystyle (ad'-da')x+(bd'-db')y+(cd'-dc')z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cd8828a1fe7b037e75368daad9c8446069b89aa)
;
équation qui, d’après les relations ci-dessus, se réduit à
.
10. Si l’on fait
, les équations de condition prendront cette forme symétrique :
;
et alors
pourront tous deux être supposés entiers ; on pourra faire, par exemple,
![{\displaystyle \lambda =\pm d',\quad \lambda '=\mp d}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f155e78908e7f51ca586bc491e1ba2057620ab)
.
En adoptant cette notation, la relation entre les deux premières équations devient :
![{\displaystyle \lambda (ax+by+cz+d)+\lambda '(a'x+b'y+c'z+d')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d60dc99b33c3bdd779f3ae68db5675380ca0ffe)
;
et l’on voit de nouveau, par là, que chacune d’elles est comportée par l’autre ; de manière qu’on peut supprimer indifféremment l’une ou l’autre.
11. Soit ensuite :
![{\displaystyle a''x+b''y+c''z+d''=m(ax+by+cz+d)+m'(a'x+b'y+c'z+d')=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c21d28a2e3375a14df8ec3594056b030cdd973)
on aura les équations de condition :
![{\displaystyle a''=ma+m'a',\quad b''=mb+m'b',\quad c''=mc+m'c',\quad d''=md+m'd'~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebd7d4191c3a0c037e649c3911f618f46cb075ac)