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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.
relation qu’on pourrait, au surplus, écrire sous cette forme
![{\displaystyle (ac'-ca')(b'c''-b''c')-(bc'-cb')(a'c''-a''c')=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce38c9067276a429e3413674ac8c04e660a2c193)
,
et qui peut, comme l’équation (3), remplacer une quelconque des deux premières.
Or, en vertu des équations (1), (2), (3), (4), on voit ( art. 6 )
que les valeurs générales des inconnues deviennent
![{\displaystyle x={\frac {0}{0}},\qquad y={\frac {0}{0}},\qquad z={\frac {0}{0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d2ee5dcf376a2006e382759ef3e7818ef753de3)
;
12. Réciproquement, si l’on a les deux relations
![{\displaystyle {\begin{aligned}(ad'-da')(c'd''-d'c'')-(cd'-dc')(a'd''-d'a'')&=0,\\(bd'-db')(c'd''-d'c'')-(cd'-dc')(b'd''-d'b'')&=0;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acee34c3e6d31da18f96657fb0e39927ac2a9a1)
lesquelles, comme nous venons de le voir, emportent l’existence des équations (1), (2), (3), (4), et réduisent conséquemment à
les valeurs des inconnues ; il arrivera que l’une quelconque des trois équations proposées sera la somme des produits des deux autres par certains multiplicateurs ; ainsi, par exemple, on pourra admettre que la troisième est la somme des produits de la première par
et de la seconde par
; si, en effet, l’on écrit l’équation
![{\displaystyle (a''x+b''y+c''z+d'')=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3c403ac7f79a1dfa86b86bff51e1b441cba81e4)
![{\displaystyle {\frac {c'd''-d'c''}{dc'-cd'}}(ax+by+cz+d)+{\frac {dc''-cd''}{dc'-cd'}}(a'x+b'y+c'z+d')~,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94fa8c6398de1c35ad85059a31fd8ca106a05be)
elle deviendra, en chassant les dénominateurs, transposant et réduisant,
![{\displaystyle \left\{(c'd''-d'c'')a+(dc''-cd'')a'+(cd'-dc')a''\right\}x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d0ce431464576741f37d18959fdd2ec1c16f634)
![{\displaystyle +\left\{(c'd''-d'c'')b+(dc''-cd'')b'+(cd'-dc')b''\right\}y=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b3b83f0fbd666cb962669a2653665df05277ab)
équation qui, en vertu des relations (1) et (2), se réduit à
.
13. Si l’on fait
,
, les équations de condition prendront cette forme symétrique :
![{\displaystyle \lambda a+\lambda 'a'+\lambda ''a''=0,\quad \lambda b+\lambda 'b'+\lambda ''b''=0,\quad \lambda c+\lambda 'c'+\lambda ''c''=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb98e736ca5d98eb102b488b925f9d601aa0009)
![{\displaystyle \lambda d+\lambda 'd'+\lambda ''d''=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1766a5f6117572972e6a08a0c3c2d381d8204fa8)
et alors
, pourront ; tous trois, être supposés entiers ; on pourra faire, par exemple,