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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

$\lambda =c'd''-c''d',\quad \lambda '=dc''-cd'',\quad \lambda ''=cd'-dc'$.

En adoptant cette notation, la relation entre les trois équations devient

$\lambda (ax+by+cz+d)+\lambda '(a'x+b'y+c'z+d')+\lambda ''(a''x+b''y+c''z+d'')=0$ ;

et l’on voit de nouveau, par là, que chacune d’elles est comportée par les deux autres ; de manière qu’on peut indifféremment en supprimer une quelconque.

14. Soit enfin

$a''x+b''y+c''z+d=m(ax+by+cz+d)=m'(a'x+b'y+c'z+d')=0$ ;

on aura les équations de condition

${\begin{array}{llll}a''=ma&,\quad b''=mb&,\quad c''=mc&,\quad d''=md;\\a''=m'a'&,\quad b''=m'b'&,\quad c''=m'c'&,\quad d''=m'd';\\\end{array}}$

desquelles éliminant $m$ et $m',$ il viendra

${\begin{array}{lll}ad''-da''=0&,\quad bd''-db''=0&,\quad cd''-dc''=0;\\a'd''-d'a''=0&,\quad b'd''-d'b''=0&,\quad c'd''-d'c''=0;\\\end{array}}$

Et telles sont les relations nécessaires, entre les quantités connues $a,b,c,d,a',b',c',d',a'',b'',c'',d'',$ pour que chacune des trois équations proposées résulte indifféremment de la multiplication de l’une ou de l’autre des deux restantes par une certaine quantité ; c’est-à-dire, pour que chaque équation se trouve, à la fois, comportée par chacune des autres, prise isolément ; ce qui, en permettant d’en supprimer deux quelconques, réduit le nombre des équations à une seule, et rend conséquemnlent le problème plus qu’indéterminé.

De ces relations on déduit facilement celles-ci

${\begin{array}{lll}ab''-ba''=0&,\quad bc''-cb''=0&,\quad ca''-ac''=0;\\a'b''-b'a''=0&,\quad b'c''-c'b''=0&,\quad c'a''-a'c''=0;\\\end{array}}$

ce qui donne encore

${\begin{array}{lll}ad'-da'=0&,\quad bd'-db'=0&,\quad cd'-dc'=0;\\ab'-ba'=0&,\quad bc'-cb'=0&,\quad ca'-ac'=0;\\\end{array}}$

et l’on voit qu’en vertu de ces dernières (art. 8), les valeurs généra-