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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

et l’on voit de nouveau, par là, que chacune de ces équations se trouve comportée par chacune des autres, ce qui permet d’en supprimer indifféremment deux quelconques.

17. Dans ce qui précède, nous avons tacitement supposé qu’aucune des trois équations proposées n’était dépourvue de son dernier terme ; mais lorsqu’au contraire on a d=d’=d"=0, c’est-à-dire, lorsque les équations du problème sont

$ax+by+cz+d=0,\ \ a'x+b'y+c'z+d'=0,\ \ a''x+b''y+c''z+d''=0$ ;

il y a alors à distinguer les deux cas que voici :

1.^o Il peut se faire que les quantités connues $a,b,c,a',b',c',a'',b'',c'',$ ne soient pas assujetties à la relation

$ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''=0$ ;

alors la question est déterminée, et elle est résolue par les seules valeurs

$x=0,y=0,z=0;$

ce qui est évident (art. 6).

2.^o Il peut se faire, au contraire, que les quantités connues soient assujetties à la relation

$ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''=0$ ;

alors la question est indéterminée, et elle est résolue, non seulement par les valeurs

$x=0,y=0,z=0$ ;

mais encore par une infinité d’autres représentées par les symboles

$x={\frac {0}{0}},\qquad y={\frac {0}{0}},\qquad z={\frac {0}{0}}$ ;

18. Il est facile de voir (art.8, 11, 14) 1.^o que, si cette relation résulte de ce que

$ab'-ba'=0,\quad bc'-cb'=0\quad ca'-ac'=0$ ;

ce sera une preuve que les deux premières équations ne sont pas essentiellement différentes ; et qu’on peut, en conséquence, supprimer l’une d’elles. Ce serait au contraire la première et la troisième qui seraient équivalentes, si l’on avait

$ab''-ba''=0,\quad bc''-cb''=0\quad ca''-ac''=0$ ;