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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.

et, par suite,

${\begin{array}{lll}a\,b'\,-b\,a'=0&,\quad b\,c'\,-c\,b'\,=0&,\quad c\,a'\,-a\,c'\,=0,\\a\,b''-b\,a''=0&,\quad b\,c''-c\,b''=0&,\quad c\,a''-a\,c''=0,\\a'b''-b'a''=0&,\quad b'c''-c'b''=0&,\quad c'a''-a'c''=0,\\\end{array}}$

alors les trois équations n’équivaudront qu’à une seulement, et conséquemment le problème sera plus qu’indéterminé.

20. Nous n’étendrons pas ces recherches à quatre équations du premier degré renfermant quatre inconnues, ni à un plus grand nombre d’équations du premier degré entre un pareil nombre d’inconnues. Ce que nous venons de dire pour deux et pour trois équations de ce genre, doit mettre sur la voie pour continuer, ou du moins doit faire sentir comment on pourrait continuer. Le principal fruit qu’on peut retirer des recherches de cette nature est de se procurer des caractères pour reconnaître, dans les problèmes qui, bien que le nombre des équations y soit égal au nombre des inconnues, se présentent néanmoins sous une forme indéterminée ; combien il y a d’équations superflues, et quelles sont celles qu’il faut supprimer.

21. Lorsque les équations, toutes dépourvues de dernier terme, tombent dans le cas de simple indétermination, c’est-à-dire, dans le cas où il n’y en a qu’une seule de superflue ; on en peut déduire, si non les valeurs des inconnues, du moins les valeurs de leurs rapports.

Qu’on ait en effet les deux équations

$ax+by=0,\quad a'x+b'y=0$,

avec la relation

$ab'-ba'=0$

elles n’équivaudront qu’à une seule (art. 5), et on en tirera

${\frac {x}{y}}=-{\frac {b}{a}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {x}{y}}=-{\frac {b'}{a}}$ ;

valeurs égales, en vertu de la relation ci-dessus.

22. Pareillement, si l’on a les trois équations

$ax+by+cz=0,\quad a'x+b'y+c'z=0,\quad a''x+b''y+c''z=0$ ;