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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

$c$ que des quantités rationnelles ; alors a et b devront être déterminés en conséquence de cette nouvelle condition, en sorte qu’ils ne pourront plus être quelconques.

Pour rendre rationnelle ${\sqrt {(1-a^{2})(1-b^{2})}}$ il faut rendre séparément rationnels ${\sqrt {(1-a^{2})}}{\text{ et }}{\sqrt {(1-b^{2})}}$ ; on y parvient en faisant

${\sqrt {(1-a^{2})}}={\frac {m}{n}}(1+a),\quad {\sqrt {1-b^{2}}}={\frac {p}{q}}(1+b)$ ;

on obtient ainsi

$a={\frac {n^{2}-m^{2}}{n^{2}+m^{2}}},\quad b={\frac {q^{2}-p^{2}}{q^{2}+p^{2}}}$ ;

et, par suite,

$c=-{\frac {(n^{2}-m^{2})(q^{2}-p^{2})-4mnpq}{(n^{2}+m^{2})(q^{2}+p^{2})}}$ ;

formules dans lesquelles il suffit de prendre pour $m,n,p,q,$ des nombres entiers quelconques.

Supposant donc que $z$ est donné, on trouvera (art. 23),

$x={\frac {c+ab}{a+bc}}z,\quad y={\frac {c+ab}{b+ac}}z$ ;

ce qui donnera, en substituant

$x={\frac {mn(q^{2}+p^{2})z}{pq(n^{2}-m^{2})+mn(q^{2}-p^{2})}},\ y={\frac {pq(n^{2}+m^{2})z}{pq(n^{2}-m^{2})+mn(q^{2}-p^{2})}}$ ;

au surplus, pour éviter les fractions, on pourra faire

$x=mn(q^{2}+p^{2}),\ y=pq(n^{2}+m^{2}),\ z=mn(q^{2}-p^{2})+pq(n^{2}-m^{2})\;;$

telles sont donc les formules générales qu’il faut employer pour obtenir des triangles dont les trois côtés soient des nombres rationnels et entiers, et dont les angles se trouvent avoir, tant pour leurs sinus que pour leurs cosinus, des nombres rationnels.

Si, par exemple, on suppose $n=2,\;m=1,\;q=3,\;p=2$, il viendra

$x=26,\quad y=30,\quad z=28$ ;