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SURFACES.

$-\mathrm {\frac {D}{A}} =5,\quad -\mathrm {\frac {D}{B}} =2,\quad -\mathrm {\frac {D}{C}} =3$,

d’où l’on tire ces relations

$\mathrm {5A=2B=3C=-D}$ ;

donnant donc à $\mathrm {D}$ la valeur que l’on voudra, on déterminera les quatre coefficiens de l’équation du plan. Faisant, par exemple, $\mathrm {D=1,}$ on aura

$\mathrm {A=-{\frac {1}{5}},\quad B=-{\frac {1}{2}},\quad C=-{\frac {1}{3}}}$,

ce qui donnera

$6z+15y+10x-30=0$,

pour l’équation du plan proposé.

C’est avec la même facilité que l’on établirait l’équation, si l’on avait pour données les valeurs des angles respectifs du plan proposé avec les plans coordonnés.

Il est inutile de s’arrêter à des considérations de cette nature ; passons aux surfaces du second ordre.

11. On sait que l’équation générale des surfaces au second ordre, résolue par rapport à $z,$ donne :

$z=-\left\{\mathrm {\frac {By+B'x+C}{2A}} \right\}$

$\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} \left\{y^{2}+\mathrm {\frac {2(Bb'-2AB'')}{B^{2}-4AA'}} xy+\mathrm {\frac {(B'^{2}-4AA'')}{B^{2}-4AA'}} x^{2}+\mathrm {\frac {2(BC-2AC')}{B^{2}-4AA'}} y+\mathrm {\frac {2(B'C-2AC'')}{B^{2}-4AA'}} x+\mathrm {\frac {C^{2}-4AB)}{B^{2}-4AA'}} \right\}}}$

et que le plan-diamètre de la surface a ainsi pour équation

$z=-\left\{\mathrm {\frac {By+B'x+C}{2A}} \right\}$.

L’intersection de ce plan avec la surface appartient également au cylindre tangent qui limite cette surface et qui la projète sur le plan des $xy.$ On obtient l’équation de cette intersection, en égalant à zéro le polynôme en $xy$ qui est sous le signe radical de la valeur de $z$ ; et l’équation résultante, indépendante de $z,$ appartient, à la fois, à tout le cylindre projetant et à la projection même de la surface sur