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DU SECOND DEGRÉ.
le plan des
Ces choses étant rappelées, nous pouvons passer aux exemples.
12. 2.o Pour l’ellipsoïde. Soit
(fig. 1) la projection, sur le plan des
d’un ellipsoïde disposé de manière que son grand axe soit parallèle au plan des
et élevé au-dessus de ce plan d’une quantité égale à 4. Soient
![{\displaystyle \mathrm {AB=2,\quad AB'=4,\quad BI=1,\quad OL=1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8622cd54dfa33b100470ad68e80e20173107cfb2)
.
L’ellipse
aura pour équation (2) :
![{\displaystyle y^{2}-xy+{\tfrac {5}{4}}x^{2}-6x+8=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a204181a538aee52898cfea596de5898f98f97)
.
Le plan-diamètre, parallèle au plan des
, aura pour équation (10) :
![{\displaystyle z=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24811226e8b5512685e5d4084e3b9fbf4b8869fa)
,
en sorte que l’équation de la surface sera de la forme
![{\displaystyle z=4\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-xy+{\tfrac {5}{4}}x^{2}-6x+8)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7de9f61f0f9ac712981a5a7d3041e2860117d55)
.
Il ne restera donc plus qu’à déterminer le facteur
, ce qui se fera comme il suit.
Les coordonnées
et
relatives au centre de l’ellipsoïde, sont ici
![{\displaystyle \mathrm {AC=3,\quad CO={\tfrac {3}{2}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e57361d112e6b38deeb9b189aa85bf6b97a4bed)
;
faisant donc
dans le polynome en
ci-dessus, la valeur du radical deviendra alors celle du demi-second-axe de la surface. Exécutant donc la substitution, et supposant le demi-second-axe égal à l’unité, il faudra poser
![{\displaystyle {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} \times -1}}=1{\text{, d’où }}\mathrm {\frac {B^{2}-4AA'}{4A^{2}}} =-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1488d6b7b131ace6c9109ae173acb7d5e72b73)
;
au moyen de quoi l’équation de la surface deviendra
![{\displaystyle z=4\pm {\sqrt {-(y^{2}-xy+{\tfrac {5}{4}}x^{2}-6x+8)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57e02287255be021314808ff11275b3ec1bef19)
,
ou
![{\displaystyle 4z^{2}-4xy+4y^{2}+5x^{2}-32z-24x+96=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8d45711f1996fccf507ac1626153cc0b7683ba3)
;