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DU SECOND DEGRÉ.

faisant donc, pour plus de simplicité

$\mathrm {{\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}}=-1}$,

l’équation cherchée deviendra

$z=4y+6x\pm {\sqrt {-(y^{2}-4x^{2}-6y+12x)}}$,

ou

$z^{2}-8zy-12zx+48xy+17y^{2}+32.x^{2}-6y+12x=0$.

17. 4.^o Pour le paraboloïde. Soit $\mathrm {NIN'}$ (fig. 5) la projection sur le plan des $xy,$ d’un paraboloïde tellement situé que l’on ait

$\mathrm {AD=2,\quad AB=5,\quad AE=3}$ ;

et soit le paramètre $\mathrm {NN'=4{\sqrt {13}}}$, d’où l’on déduira

$\mathrm {AC=7,\quad CO={\frac {15}{2}}}$.

L’équation de la projection sera

$y^{2}-3xy+{\tfrac {9}{4}}x^{2}+6y-35x+139=0$.

Supposons que le plan-diamètre passant par l’axe des x fasse, avec le plan des $xy,$ du côté des $y$ négatives, un angle dont la tangente trigonométrique soit égale à ${\tfrac {1}{2}}$ ; l’équation de ce plan sera

$z={\tfrac {1}{2}}y$,

et celle du paraboloïde sera de la forme

$z=-{\tfrac {1}{2}}y\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-3xy+{\tfrac {9}{4}}x^{2}+6y-35x+139)}}$.

Substituant, dans le polynôme en $xy$ les valeurs de $\mathrm {AC=7}$ et de $\mathrm {CO={\tfrac {15}{2}}}$, et égalant le radical à $2{\sqrt {13}}$, valeur supposée du demi-paramètre, on trouvera, toutes réductions faites,

$\mathrm {{\tfrac {B^{2}-4AA'}{4A^{2}}}=-1}$,

ce qui donnera