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DU SECOND DEGRÉ.
faisant donc, pour plus de simplicité
![{\displaystyle \mathrm {{\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}}=-1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/770643da678ddeb4e3477ba4c61b8af45675f757)
,
l’équation cherchée deviendra
![{\displaystyle z=4y+6x\pm {\sqrt {-(y^{2}-4x^{2}-6y+12x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4662e3a4cc259c6449cc7616e5dd7fbdc52d78a6)
,
ou
![{\displaystyle z^{2}-8zy-12zx+48xy+17y^{2}+32.x^{2}-6y+12x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a31c0a8de5c07d35777735828ea8eac6cedbf6)
.
17. 4.o Pour le paraboloïde. Soit
(fig. 5) la projection sur le plan des
d’un paraboloïde tellement situé que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {AD=2,\quad AB=5,\quad AE=3} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66ab13229738f6a5f9b15407376f3def8d970b56)
;
et soit le paramètre
, d’où l’on déduira
![{\displaystyle \mathrm {AC=7,\quad CO={\frac {15}{2}}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61c415ab36050b410b85af298f71cee7f4e4bb9e)
.
L’équation de la projection sera
![{\displaystyle y^{2}-3xy+{\tfrac {9}{4}}x^{2}+6y-35x+139=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/025f5479bb0eaee7a3b341cb3a7e2ec88edbd9e5)
.
Supposons que le plan-diamètre passant par l’axe des x fasse, avec le plan des
du côté des
négatives, un angle dont la tangente trigonométrique soit égale à
; l’équation de ce plan sera
![{\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbb946a0a9a3b5470d398506da7758da3bf3dec)
,
et celle du paraboloïde sera de la forme
![{\displaystyle z=-{\tfrac {1}{2}}y\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-3xy+{\tfrac {9}{4}}x^{2}+6y-35x+139)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1148e271ad1763d9f08d165e24cf54f985433e2)
.
Substituant, dans le polynôme en
les valeurs de
et de
, et égalant le radical à
, valeur supposée du demi-paramètre, on trouvera, toutes réductions faites,
![{\displaystyle \mathrm {{\tfrac {B^{2}-4AA'}{4A^{2}}}=-1} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c6e82fc13320dbdf7961ced649c467a53abafdf)
,
ce qui donnera