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QUESTIONS.

et en général

${\text{pour }}\mathrm {P_{k}} \left\{{\begin{array}{ll}x=\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{k-1}a+{\tfrac {1}{2(m-3n)}}\left\{(m-3n)+2n\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{k-1}-(m-n)\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{k-1}\right\}c,\\y=\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{k-1}b+{\tfrac {1}{2(m-3n)}}\left\{(m-3n)+2n\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{k-1}-(m-n)\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{k-1}\right\}d;\\\end{array}}\right.$

D’après cela, on trouvera facilement pour les équations des milieux $\mathrm {M_{1},\;M_{2},\;M_{3},\ldots M_{k}}$, de $\mathrm {S_{1}P_{1},\;S_{2}P_{2},\;S_{3}P_{3},\ldots S_{k}P_{k}}$, savoir : ${\text{pour }}\mathrm {M_{1}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}c+{\tfrac {1}{2}}\left\{a+{\tfrac {n}{m-3n}}c\right\}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{0}-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m-2n}{m-3n}}\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{0}c,\\y={\tfrac {1}{2}}d+{\tfrac {1}{2}}\left\{b+{\tfrac {n}{m-3n}}d\right\}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{0}-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m-2n}{m-3n}}\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{0}d;\\\end{array}}\right.$ ${\text{pour }}\mathrm {M_{2}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}c+{\tfrac {1}{2}}\left\{a+{\tfrac {n}{m-3n}}c\right\}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{1}-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m-2n}{m-3n}}\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{1}c,\\y={\tfrac {1}{2}}d+{\tfrac {1}{2}}\left\{b+{\tfrac {n}{m-3n}}d\right\}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{1}-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m-2n}{m-3n}}\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{1}d;\\\end{array}}\right.$ ${\text{pour }}\mathrm {M_{3}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}c+{\tfrac {1}{2}}\left\{a+{\tfrac {n}{m-3n}}c\right\}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m-2n}{m-3n}}\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{2}c,\\y={\tfrac {1}{2}}d+{\tfrac {1}{2}}\left\{b+{\tfrac {n}{m-3n}}d\right\}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m-2n}{m-3n}}\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{2}d;\\\end{array}}\right.$

et en général

${\text{pour }}\mathrm {M_{k}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}c+{\tfrac {1}{2}}\left\{a+{\tfrac {n}{m-3n}}c\right\}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{k-1}-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m-2n}{m-3n}}\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{k-1}c,\\y={\tfrac {1}{2}}d+{\tfrac {1}{2}}\left\{b+{\tfrac {n}{m-3n}}d\right\}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{k-1}-{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {m-2n}{m-3n}}\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{k-1}d;\\\end{array}}\right.$

Telles sont donc les équations générales d’un point de la courbe cherchée, et desquelles on déduirait tant de points qu’on voudrait de cette courbe, en donnant successivement diverses valeurs à $k$, si donc on élimine $k$ entre ces deux équations, l’équation résultante en $x$ et $y$ étant indifférente à toutes valeurs de $k$, sera l’équation de la courbe cherchée.