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RÉSOLUES.
Pour parvenir à cette équation, soient considérés,
, dans les équations ci-dessus, comme deux inconnues distinctes, on en tirera
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\tfrac {n}{m}}\right)^{k-1}&={\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}},\\\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)^{k-1}&={\tfrac {(m-3n)\left[a(2y-d)-b(2x-c)\right]+2n(cy-dx)}{(m-2n)(bc-ad)}};\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576842437d04ec84699fda75bd8882857a3d9035)
en prenant les logarithmes des deux membres de ces deux équations, elles deviendront
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(k-1)\operatorname {log} .\left({\tfrac {n}{m}}\right)&&=\operatorname {log} .{\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}},\\&(k-1)\operatorname {log} .\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)&&=\operatorname {log} .{\tfrac {(m-3n)\left[a(2y-d)-b(2x-c)\right]+2n(cy-dx)}{(m-2n)(bc-ad)}}~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e5a2509b1b18f74d2feba344c718e5de70535de)
ce qui donnera, en multipliant en croix,
![{\displaystyle (\mathrm {A} )\ \operatorname {log} .\left({\tfrac {m-2n}{m}}\right)\cdot \operatorname {log} .{\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fe036ae37f216412b4379c42bb5f2a823459e35)
![{\displaystyle \operatorname {log} .\left({\tfrac {n}{m}}\right)\cdot \operatorname {log} .{\tfrac {(m-3n)\left[a(2y-d)-b(2x-c)\right]+2n(cy-dx)}{(m-2n)(bc-ad)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debe0a223092a5d91c44406742682b0e1c61d05d)
,
telle est l’équation de la courbe demandée.
Cette courbe est en général transcendante, mais elle peut devenir algébrique, dans des cas particuliers ; c’est ce qui arrive, par exemple, si
; l’équation devient alors, en effet,
![{\displaystyle \operatorname {log} .{\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {log} .{\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}}=2\operatorname {log} .{\tfrac {1}{2}}\cdot \operatorname {log} .{\tfrac {(a+c)(2y+b)-(b+d)(2x+a)}{2(bc-ad)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aea3c31c41daf3e4aea215c026f0b2f3273340c)
en divisant par
, cette équation peut être écrite ainsi
![{\displaystyle \operatorname {log} .{\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}}=\operatorname {log} .\left\{{\tfrac {(a+c)(2y+b)-(b+d)(2x+a)}{2(bc-ad)}}\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee22e46279aed703d63b381baffe569bde6f79a8)
;
ou, en passant aux nombres,
![{\displaystyle {\tfrac {2(cy-dx)}{bc-ad}}=\left\{{\tfrac {(a+c)(2y+b)-(b+d)(2x+a)}{2(bc-ad)}}\right\}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52b0dcc0a064ca752ca8628c4e821656efb683bf)
;
équation qui devient, toutes réductions faites,
![{\displaystyle \left\{(b+d)x-(a+c)y\right\}^{2}=(bc-ad)\left\{(b-d)x-(a-c)y-{\tfrac {1}{4}}(bc-ad)\right\}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6285b3046fd79d05b5541dfce1eeae7a19b7874d)