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et qui appartient, évidemment à une parabole. Si, dans ce cas particulier, on suppose, que l’angle $\mathrm {P_{1}S_{1}Q_{1}}$ est droit, ou qu’on a pris cet angle pour celui des coordonnées, on aura $a=0,d=0,$ et l’équation prendra cette forme très-simple

$b^{2}x(x-c)-2bcxy+c^{2}y(y-b)+{\tfrac {1}{4}}b^{2}c^{2}=0$.

Si l’on suppose de plus $c=b,$ elle deviendra

$x(x-b)-2xy+y(y-b)+{\tfrac {1}{4}}b^{2}=0$.

L’équation $(\mathrm {A} )$ se réduisant à $0=0,$ dans le cas où $m=3n,$ il est nécessaire de traiter ce cas en particulier. Les équations des points $\mathrm {S_{1},\;S_{2},\;S_{3},\cdots S_{k}}$, sont alors, savoir :

${\text{pour }}\mathrm {S_{1}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{0}\right\}c=0,\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{0}\right\}d=0;\\\end{array}}\right.$

${\text{pour }}\mathrm {S_{2}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{1}\right\}c,\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{1}\right\}d;\\\end{array}}\right.$

${\text{pour }}\mathrm {S_{3}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}\right\}c,\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}\right\}d;\\\end{array}}\right.$

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${\text{pour }}\mathrm {S_{k}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{k-1}\right\}c,\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{1-\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{k-1}\right\}d.\\\end{array}}\right.$

On trouvera ensuite les équations des points $\mathrm {P_{1},\;P_{2},\;P_{3},\cdots P_{k-1}}$, ainsi qu’il suit, savoir :

${\text{pour }}\mathrm {P_{1}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{c+\left[2a-c\right]\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{0}\right\},\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{d+\left[2b-d\right]\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{0}\right\};\\\end{array}}\right.$

${\text{pour }}\mathrm {P_{2}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{c+\left[2a-3c\right]\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{1}\right\},\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{d+\left[2b-3d\right]\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{1}\right\};\\\end{array}}\right.$

${\text{pour }}\mathrm {P_{3}} \left\{{\begin{array}{ll}x={\tfrac {1}{2}}\left\{c+\left[2a-5c\right]\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}\right\},\\y={\tfrac {1}{2}}\left\{d+\left[2b-5d\right]\left({\tfrac {1}{3}}\right)^{2}\right\};\\\end{array}}\right.$

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