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FORMULES.

$X^{m}=0$ ; cette dernière est celle que j’appellerai la résultante, relativement à la première à laquelle je donnerai le nom d’équation principale.

5. Toutes les équations du second degré qui ont des racines commensurables ont pour résultantes des équations dont les racines sont également commensurables. En effet toutes ces équations sont comprises dans la formule générale $x^{2}+(a+b)x+ab=0$ qui, en supprimant son dernier terme, devient $x^{2}+(a+b)x=0$ ou $x\left[x+a+b\right]=0$

6. Dans le troisième degré les racines des résultantes sont souvent incommensurables, quoique celles des équations principales soient rationnelles ; mais on peut facilement trouver, parmi ces dernières, celles qui jouissent de la propriété qui nous occupe. Prenons pour cela l’équation

$x^{3}+px^{2}+qx+r=0,$

dont la résultante

$x^{3}+px^{2}+qx=0,$

étant divisée par $x$, devient

$x^{2}+px+q=0,$

et donne

$x={\frac {-p+{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}}\quad$et$\quad x={\frac {-p-{\sqrt {p^{2}-4q}}}{2}};$

nommons de plus $-d$ et $-e$ ces deux racines, et supposons que $-a,-b$ et $-c$ sont celles de l’équation principale ; nous aurons

$p=a+b+c\quad$et$\quad q=ab+ac+bc.$

Cela posé, pour que les valeurs de $d$ et de $e$ soient rationnelles, il faut qu’on ait

$p^{2}-4q=$ un quarré ;

Or, cette égalité, en mettant pour $p$ et $q$ leur valeur, peut s’écrire