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QUESTIONS
![{\displaystyle t={\frac {1}{\mathrm {K} ^{3}}}\left\{{\begin{array}{ll}-\mathrm {H} \left\{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\\+\mathrm {K} \left\{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\\-\mathrm {G} \left\{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\\\end{array}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab09650333e5ce4dd718a4629e6b70333564e9a5)
Telles sont les formules demandées.
Quoique le procédé que nous venons d’employer, pour parvenir au but, ne laisse rien à désirer du côté de la brièveté, on pourrait lui reprocher d’être basé sur la considération des quantités infiniment petites
; mais on peut le présenter sous une forme analogue à celle que l’illustre auteur de la Théorie des fonctions analitiques[1] a indiquée pour le changement de la variable indépendante, dans les fonctions d’une seule variable ; ne reposant alors que sur la série de Tailor, il pourra être traduit dans toutes les notations. Voici ce qu’il faut faire pour cela.
Concevons qu’on fasse subir à
et
des accroissemens arbitraires et indépendans, respectivement désignés par
et
on pourra, par la série de Tailor, développer les valeurs correspondantes de
et
et en posant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {G} ={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {g}{1}}+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {h}{1}}+\cdots ,\quad \mathrm {H} ={\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {g}{1}}+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {h}{1}}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec02c1eeb4aaad94aff5e6118aa7085636e0f0f9)
ces valeurs seront
![{\displaystyle x+\mathrm {G} ,\quad y+\mathrm {H} ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9b24ac22d8d2f55c3d8f2e855cdb1dae25cc3c)
comme fonction de
et
deviendra donc
![{\displaystyle z+p\mathrm {\tfrac {G}{1}} +q\mathrm {\tfrac {H}{1}} +\cdots ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77094f26c737aed2c9669cddf74beb7c48369d4d)
- ↑ Voyez cet ouvrage, n.o 200.