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FRACTIONS-CONTINUES

L’analise des médiateurs fournit plusieurs théorèmes intéressans que nous nous contenterons ici d’énoncer, attendu que nous en ayons donné la démonstration ailleurs. (Arith univ. chap. VIII.)

4. Théorème I. Un médiateur ne change pas de valeur, lorsqu’on renverse l’ordre de ses bases ; ainsi, par exemple, les médiateurs $\mathrm {(AN)}$ et $\mathrm {(NA)}$ sont identiques entre eux.

5. Théorème II. Si la première ou la dernière base d’un média-

$cdef+adef+abef+abcf+abcd$ ;

divisant ensuite successivement le même premier terme, de toutes les manières possibles, par deux produits de deux lettres consécutives, c’est-à-dire, par $ab{\text{ et }}cd,ab{\text{ et }}de,ab{\text{ et }}ef,bc{\text{ et }}de,bc{\text{ et }}ef,cd{\text{ et }}ef,$ et prenant la somme des quotiens, on formera la totalité des termes de deux dimensions, lesquels seront ainsi

$ef+cf+cd+af+ad+ab$ ;

divisant, enfin, le même premier terme par trois produits de deux lettres consécutives, ce qui ne pourra avoir lieu que d’une manière unique, savoir $ab,cd,ef,$ le quotient 1 de cette division sera le terme de zéro dimensions, c’est-à-dire, le dernier terme du médiateur ; en sorte qu’on aura

$\mathrm {(AF)} =\left\{{\begin{aligned}&abcdef\\+&cdef+adef+abef+abcf+abcd\\+&ef+cf+cd+af+ad+ab\\+&1.\\\end{aligned}}\right.$

On peut désirer, comme moyen de vérification, de connaître, à l’avance, combien de termes de chaque sorte de dimensions un médiateur doit renfermer, ce nombre de termes est, pour $n$ bases et $n-2k$ dimensions.

${\tfrac {n-k}{1}}\cdot {\tfrac {n-k-1}{2}}\cdot {\tfrac {n-k-2}{3}}\cdots {\tfrac {n-2k+1}{k}}.$

Le nombre total des termes d’un médiateur de $n$ bases, a donc pour expression

$1+{\tfrac {n-1}{1}}+{\tfrac {n-2}{1}}\cdot {\tfrac {n-3}{2}}+{\tfrac {n-3}{1}}\cdot {\tfrac {n-4}{2}}\cdot {\tfrac {n-5}{3}}+\ldots ~;$

série qui se termine d’elle-même si, comme cela doit toujours être, $n$ est entier et positif, et dont la somme des termes peut d’ailleurs être mise sous cette forme finie :

${\tfrac {5+3{\sqrt {5}}}{10}}\left({\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n-1}+{\tfrac {5-3{\sqrt {5}}}{10}}\left({\tfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n-1}.$
(Note des éditeurs.)