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PÉRIODIQUES.

bien que les bases périodiques de la fraction-continue soient au nombre de six. Les premières étant désignées par $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\zeta$ ; et les dernières par les lettres $a,b,c,d,e,f$ ; la partie de la fraction qui s’étend à l’infini, depuis le commencement de la période, et que nous représenterons par $x$, sera

$x=a+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{d+{\cfrac {1}{e+{\cfrac {1}{f+{\cfrac {1}{x}}}}}}}}}}}}$.

Et, si nous exprimons par y la fraction-continue entière, prolongée à l’infini, à partir de la tête, nous aurons

$y=\alpha +{\cfrac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +{\cfrac {1}{\epsilon +{\cfrac {1}{\zeta +{\cfrac {1}{x}}}}}}}}}}}}$.

La partie de la fraction-continue $x$ ce qui se termine à la base $f$ sera égale à

$\mathrm {\tfrac {(AF)}{(BF)}} ={\tfrac {f\mathrm {(AE)+(AD)} }{f\mathrm {(BE)+(BD)} }}.$

Pour avoir la valeur de la fraction-continue, prolongée à l’infini, il faudra remplacer, dans cette dernière expression, la lettre $f$ par $f+{\tfrac {1}{x}}$ ce qui donnera, après les réductions,

$x={\tfrac {(\mathrm {AE} )+x(\mathrm {AF} )}{(\mathrm {BE} )+x(\mathrm {BF} )}}$ ;

ainsi, la valeur $x$ de la fraction-continue sera l’une des deux racines de l’équation du second degré qui suit :

$\mathrm {(BF)} x^{2}-\left\{(\mathrm {AF} )-\mathrm {(BE)} \right\}x-\mathrm {(AE)} =0.$

Et, pour exprimer la fraction-continue entière, que nous ayons désignée par $y$, on aura de même :

$y={\tfrac {x(\alpha \zeta )+(\alpha \epsilon ))}{x(\beta \zeta )+(\beta \epsilon )}}$ ;