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PÉRIODIQUES.
bien que les bases périodiques de la fraction-continue soient au nombre de six. Les premières étant désignées par
; et les dernières par les lettres
; la partie de la fraction qui s’étend à l’infini, depuis le commencement de la période, et que nous représenterons par
, sera
![{\displaystyle x=a+{\cfrac {1}{b+{\cfrac {1}{c+{\cfrac {1}{d+{\cfrac {1}{e+{\cfrac {1}{f+{\cfrac {1}{x}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf45e4a91a8663b04f31645537a88f7f36452ca)
.
Et, si nous exprimons par y la fraction-continue entière, prolongée à l’infini, à partir de la tête, nous aurons
![{\displaystyle y=\alpha +{\cfrac {1}{\beta +{\cfrac {1}{\gamma +{\cfrac {1}{\delta +{\cfrac {1}{\epsilon +{\cfrac {1}{\zeta +{\cfrac {1}{x}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9473b96c1d14261150a1a38c76d6645f37cda68)
.
La partie de la fraction-continue
ce qui se termine à la base
sera égale à
![{\displaystyle \mathrm {\tfrac {(AF)}{(BF)}} ={\tfrac {f\mathrm {(AE)+(AD)} }{f\mathrm {(BE)+(BD)} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd76ecb559e1abe918dba2d326a573906a095b3)
Pour avoir la valeur de la fraction-continue, prolongée à l’infini, il faudra remplacer, dans cette dernière expression, la lettre
par
ce qui donnera, après les réductions,
![{\displaystyle x={\tfrac {(\mathrm {AE} )+x(\mathrm {AF} )}{(\mathrm {BE} )+x(\mathrm {BF} )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78915b68bc3bf7b4fd9e6f2ade748de1a7091bea)
;
ainsi, la valeur
de la fraction-continue sera l’une des deux racines de l’équation du second degré qui suit :
![{\displaystyle \mathrm {(BF)} x^{2}-\left\{(\mathrm {AF} )-\mathrm {(BE)} \right\}x-\mathrm {(AE)} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5057577e6e9da449d52d7c6c8128a59a9b71e54a)
Et, pour exprimer la fraction-continue entière, que nous ayons désignée par
, on aura de même :
![{\displaystyle y={\tfrac {x(\alpha \zeta )+(\alpha \epsilon ))}{x(\beta \zeta )+(\beta \epsilon )}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63cdd96c8d217603f8bb1f6368ca558c5465ee72)
;