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FRACTIONS-CONTINUES

ce qui donne $\qquad \qquad \qquad x={\tfrac {(\alpha \epsilon )-(\beta \epsilon )y}{(\beta \zeta )y-(\alpha \zeta )}}$

12. Substituant cette dernière fraction littérale à la place de $x$, dans l’équation du second degré en $x$, la valeur totale de la fraction-continue se trouvera être encore racine d’une équation du second degré, mais beaucoup plus générale que la première.

Faisons, pour abréger,

${\begin{aligned}&\mathrm {(AE)=A} ,&(\alpha \epsilon )=\mathrm {P} ,\\&\mathrm {(AF)=B} ,&(\alpha \zeta )=\mathrm {Q} ,\\&\mathrm {(BE)=C} ,&(\beta \epsilon )=\mathrm {R} ,\\&\mathrm {(BF)=D} ,&(\beta \zeta )=\mathrm {S} ,\\\end{aligned}}$

et, de plus, désignons généralement l’unité par $u$ pour les bases initiales, et par $v$ pour les bases périodiques, ce qui donne (7)

$\mathrm {QR-PS} =u,\qquad \mathrm {BC-AD} =v.$

On aura donc, dans tous les cas, tant $u=1$ que $v=1$ ; et cette unité sera positive ou négative, suivant que le nombre des bases sera pair ou impair.

On aura de même, $uv=1$, positif, si le nombre des bases initiales et celui des bases périodiques sont tous deux pairs ou tous deux impairs, et négatif, si l’un de ces nombres est pair et l’autre impair.

En employant ces notations, les deux équations précédemment obtenues deviendront :

$\mathrm {Dx} ^{2}-\mathrm {(B-C)} x-\mathrm {A} =0,$

et $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x={\tfrac {\mathrm {P-R} y}{\mathrm {S} y-\mathrm {Q} }}$ ;

et, en substituant, dans la première, la valeur de $x$ donnée par la seconde, elle deviendra

${\begin{aligned}0=\ &\mathrm {(AQ+CP)Q} -\mathrm {(BQ+DP)P} ,\\-&\mathrm {(AQ+CP)S} y+\mathrm {(BQ+DP)R} y,\\-&\mathrm {(AS+CR)Q} y+\mathrm {(BS+DR)P} y,\\+&\mathrm {(AS+CR)S} y^{2}-\mathrm {(BS+DR)R} y^{3};\\\end{aligned}}$