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PÉRIODIQUES.
or, comme (6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {(AQ+CP)} =(\alpha \zeta )\mathrm {(AE)} +(\alpha \epsilon \mathrm {(BE)} =(\alpha \mathrm {E} ),\\&\mathrm {(AS+CR)} \ =(\beta \zeta )\mathrm {(AE)} +(\beta \epsilon \mathrm {(BE)} =(\beta \mathrm {E} ),\\&\mathrm {(BQ+DP)} =(\alpha \zeta )\mathrm {(AF)} +(\alpha \epsilon \mathrm {(BF)} =(\alpha \mathrm {F} ),\\&\mathrm {(BS+DR)} \ =(\beta \zeta )\mathrm {(AF)} +(\beta \epsilon \mathrm {(BF)} =(\beta \mathrm {F} );\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ba4eb41a731b3205f3cab181d8db37fb5ee0334)
on voit que l’équation en
pourra être mise sous cette autre forme plus simple :
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&+(\alpha \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )-(\alpha \zeta )(\alpha \mathrm {E} )\\&-(\alpha \epsilon )(\beta \mathrm {F} )y+(\alpha \zeta )(\beta \mathrm {E} )y\\&-(\beta \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )y+(\beta \zeta )(\alpha \mathrm {E} )y\\&+(\beta \epsilon )(\beta \mathrm {F} )y^{2}-(\beta \zeta )(\beta \mathrm {E} )y^{2};\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0d04daf438ac4434a5f462770e7c4a96b49860a)
donc, si l’on fait, pour abréger
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {L} \ =(\alpha \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )-(\alpha \zeta )(\alpha \mathrm {E} ),\\&\mathrm {M} =(\alpha \epsilon )(\beta \mathrm {F} )y-(\alpha \zeta )(\beta \mathrm {E} )y,\\&\mathrm {N} \ =(\beta \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )y-(\beta \zeta )(\alpha \mathrm {E} )y,\\&\mathrm {O} \ =(\beta \epsilon )(\beta \mathrm {F} )y^{2}-(\beta \zeta )(\beta \mathrm {E} )y^{2};\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6238b91e17b2db826ca0a71ec06e6e2528b444a)
il en résultera l’équation
![{\displaystyle 0=\mathrm {L-(M+N)} y+\mathrm {O} y^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/736cbc50961fe8bf860e9c63db0b8274a9569c9e)
13. Les quatre coefficiens de cette équation, savoir
sont liés entre eux par quelques relations générales qu’il importe de connaître.
Examinons d’abord la différence des deux coefficiens du milieu, savoir
; on a
![{\displaystyle -\mathrm {M+N} =-(\alpha \epsilon )(\beta \mathrm {F} )+(\beta \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )+(\alpha \zeta )(\beta \mathrm {E} )-(\beta \zeta )(\alpha \mathrm {E} )~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158542c65ad640093b30a8267df6ef82ccad3fe4)
![{\displaystyle or\left\{{\begin{aligned}&(\beta \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )-(\alpha \epsilon )(\beta \mathrm {F} )=\mathrm {(AF)} u,\\&(\beta \zeta )(\alpha \mathrm {E} )-(\alpha \zeta )(\beta \mathrm {E} )=-\mathrm {(BE)} u,\\\end{aligned}}\right\}(7);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/392f4e71d886ab588b180df2d292d7402faa0543)
donc
![{\displaystyle -\mathrm {M+N} =u\left\{\mathrm {(AF)-(BE)} \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e159a28f92c6d60be7cb8778090aeffee7a600d)
Ainsi, la différence
des deux coefficiens moyens est indépendante des bases initiales de la fraction et dépend simplement des bases périodiques ; elle est égale, dans tous les cas, à
affecté du signe plus ou du signe moins, suivant que le nombre des bases initiales est pair ou impair. La valeur absolue de cette diffé-