Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/281

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

271

PÉRIODIQUES.

{\begin{alignedat}{2}(\beta \epsilon )&=1,\qquad &{\rm {(BE)}}&=1,\\(\beta \zeta )&=(\beta ),&{\rm {(BF)}}&={\rm {(B).}}\end{alignedat}}

Enfin, dans le cas d’une seule base, designée par la lettre $\alpha ,$ ou $a,$ on aura :

{\begin{alignedat}{2}(\alpha \epsilon )&=1,&\qquad {\rm {(AE)}}&=1,\\(\alpha \zeta )&=\alpha ,&{\rm {(AF)}}&=a,\\(\beta \epsilon )&=0,&{\rm {(BE)}}&=0,\\(\beta \zeta )&=1,&{\rm {(BF)}}&=1.\end{alignedat}}

Il peut importer encore d’examiner le cas d’une seule base initiale $\alpha ,$ combinée ayec un nombre quelconque de bases périodiques. On a alors

{\begin{aligned}{\rm {L}}&=-\alpha ^{2}\mathrm {(AE)} +\alpha \mathrm {(AF)} -\alpha {\rm {(BE)+(BF),}}\\{\rm {M}}&=-\alpha {\rm {(AE)+(AF),}}\\{\rm {N}}&=-\alpha {\rm {(AE)-(BE),}}\\{\rm {O}}&=-{\rm {(AE).}}\end{aligned}}

15. Etant donnée une équation quelconque du second degré

0=p-qy+ry^{2},

on peut la comparer à

0=\mathrm {L-(M+N)} y+\mathrm {Oy} ^{2},

moyennant les deux proportions et l’équation qui suivent :

p:\mathrm {L} =q:\mathrm {M+N} ,\qquad p:\mathrm {L} =r:0,\qquad \mathrm {LO-MN} =v.

On en tire

$\qquad \qquad \qquad \left.{\begin{alignedat}{2}p\mathrm {M} ^{2}-&q\mathrm {LM} &+&r\mathrm {L} ^{2}=&pv,\\p\mathrm {N} ^{2}-&q\mathrm {LN} &+&r\mathrm {L} ^{2}=&pv,\\r\mathrm {M} ^{2}-&q\mathrm {OM} &+&p\mathrm {O} ^{2}=&rv,\\r\mathrm {N} ^{2}-&q\mathrm {ON} &+&p\mathrm {O} ^{2}=&rv;\end{alignedat}}\right\}$ ^[1]

↑ Les deux proportions ci-dessus équivalent aux deux équations
$p\mathrm {(M+N)} =q\mathrm {L} ,\qquad p\mathrm {O} =r\mathrm {L} ,$

desquelles on déduit encore, par l’élimination de \mathrm{L},

$r\mathrm {(M+N)} =q\mathrm {O} .$

Si maintenant, au moyen de l’équation $p\mathrm {O} =r\mathrm {L} ,$ on élimine successivement $\mathrm {O}$ et $\mathrm {L}$ de l’équation $\mathrm {LO-MN} =v,$ il viendra

$\mathrm {(A)} \quad r\mathrm {L} ^{2}-p\mathrm {MN} =pv,\qquad \mathrm {(B)} \quad p\mathrm {O} ^{2}-r\mathrm {MN} =rv;$

mais, en multipliant successivement par $\mathrm {M}$ et par $\mathrm {N}$ chacune des deux équations $p\mathrm {(M+N)} =q\mathrm {L} {\text{ et }}r\mathrm {(M+N)} =q\mathrm {O} ,$ elles deviendront, en transposant,

[p281-1] Les deux proportions ci-dessus équivalent aux deux équations
$p\mathrm {(M+N)} =q\mathrm {L} ,\qquad p\mathrm {O} =r\mathrm {L} ,$

desquelles on déduit encore, par l’élimination de \mathrm{L},

$r\mathrm {(M+N)} =q\mathrm {O} .$

Si maintenant, au moyen de l’équation $p\mathrm {O} =r\mathrm {L} ,$ on élimine successivement $\mathrm {O}$ et $\mathrm {L}$ de l’équation $\mathrm {LO-MN} =v,$ il viendra

$\mathrm {(A)} \quad r\mathrm {L} ^{2}-p\mathrm {MN} =pv,\qquad \mathrm {(B)} \quad p\mathrm {O} ^{2}-r\mathrm {MN} =rv;$

mais, en multipliant successivement par $\mathrm {M}$ et par $\mathrm {N}$ chacune des deux équations $p\mathrm {(M+N)} =q\mathrm {L} {\text{ et }}r\mathrm {(M+N)} =q\mathrm {O} ,$ elles deviendront, en transposant,

[1]