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FRACTIONS-CONTINUES
d’où l’on déduit, en faisant, pour abréger, ![{\displaystyle h=q^{2}-4pr,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56f0fb475598c188d0df1d0d1eac11ce8ebff01)
[1]
16. Les deux premières de ces formules servent à déterminer les valeurs entières des y qui peuvent rendre quarrée toute expression de la forme
dans laquelle
et
sont supposés des nombres entiers quelconques. Comparant, en effet, cette expression à
[2] ou
on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}(q^{2}-4pr)&=m,\\2r&=n;\\\end{aligned}}\right\}{\text{ d’où }}2p={\frac {q'-m}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e0656873c6d5c9e8875f2a952a9f2a4e8b57a0e)
il en résultera l’équation
[3]
qui donne
![{\displaystyle y={\frac {q+{\sqrt {m}}}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3b6fab0b0a51abdffd4411002d22df04cfa6fa)
Ici,
pourra être pris a volonté, et la quantité
qu’on obtient, en développant en fraction-continue la fraction ![{\displaystyle {\frac {q+{\sqrt {m}}}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66b00385b0b947a41e8f939326c3c0fcc4a1352)
![{\displaystyle \mathrm {(C)} \quad p\mathrm {M} ^{2}+p\mathrm {MN-qLM} =0,\qquad \mathrm {(D)} \quad r\mathrm {M} ^{2}+r\mathrm {MN} -q\mathrm {OM} =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1832a88226d34826ce28b25d2d4ed4c8b04127d3)
![{\displaystyle \mathrm {(E)} \quad p\mathrm {M} ^{2}+p\mathrm {MN} -q\mathrm {LN} \ =0,\qquad \mathrm {(F)} \quad \ r\mathrm {N} ^{2}\,+r\mathrm {MN} -q\mathrm {ON} \,=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42524e98a65ef456412df6b85beb522638149474)
formant alors
![{\displaystyle \mathrm {(A)+(C)=0,\quad (A)+(E)=0,\quad (B)+(D)=0,\quad (B)+(F)=0,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a6c53f9772dfbb6252a043450c070f67c2a80dd)
on obtiendra, en réduisant, les quatre équations de M. Kramp.
- ↑ Ces résultats s’obtiennent en résolvant successivement chacune des quatre équations par rapport à chacune des deux lettres qui s’y trouvent au quarré.
- ↑ L’auteur suppose tacitement ici
et conséquemment le nombre des bases périodiques pair.
- ↑ Cette équation s’obtient en substituant, dans l’équation
les valeurs
(Notes des éditeurs.)