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FRACTIONS-CONTINUES
et ainsi des autres. Les médiateurs sont ici
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\mathrm {(AE)} \ \ \ =\qquad \,\ \ 5,&\mathrm {(BE)} \ \ \ =\,\qquad 2,\\{\underline {\mathrm {(AF)} \ \ \ =\qquad \ 62,}}&{\underline {\mathrm {(BF)} \ \ \ =\quad \ \ \ 25,}}\\\mathrm {(AE')} \ \ =\,\quad \ \ \ 320,&\mathrm {(BE')} \ \ =\,\quad \ 129,\\{\underline {\mathrm {(AF')} \ \ =\quad \ \ 3969,}}&{\underline {\mathrm {(BF')} \ \ =\quad 1600,}}\\\mathrm {(AE'')} \ =\,\quad 20485,&\mathrm {(BE'')} \ =\,\quad 8258,\\{\underline {\mathrm {(AF'')} \ =\ \ \ 254078,}}&{\underline {\mathrm {(BF'')} \ =\ 102428,}}\\\mathrm {(AE''')} =\,\ 1311360,&\mathrm {(BE''')} =\,\ 528641,\\{\underline {\mathrm {(AF''')} =16264961,}}&{\underline {\mathrm {(BF''')} =6556800.}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e7590a0ae85146252c4a6b1996ad78040edd2a)
Ainsi les nombres qui rendent quarrée l’expression
sont
et les racines correspondantes sont
et ceux qui rendent quarrée l’expression
sont
et les racines correspondantes sont ![{\displaystyle 2049,8396801,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be3a7faeef0ad413d1bf3389346c0808b05137b3)
Cette marche doit être suivie, toutes les fois que, dans le développement de la racine de
, on parvient à un nombre impair de bases périodiques ; et l’on voit que notre méthode donne, non-seulement la solution de l’équation
mais encore celle de l’équation
toutes les fois, du moins, que cette dernière est possible en nombres entiers.
Exemple V. Déterminer les valeurs de
qui peuvent rendre quarrée l’expression
On a ici
![{\displaystyle \alpha =3,\quad a=1,\quad b=1,\quad c=1,\quad d=1,\quad e=6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972e44e98d8e50491ceae0d568ab4d2980880035)
Le nombre des bases est ici impair ; mais, en le doublant, il devient pair, et on a alors
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {M} &=-3\mathrm {(AE)+(AF)} ,\\\mathrm {N} &=-3\mathrm {(AE)-(BE)} ,\\\mathrm {O} &=-\mathrm {(AE)} ~;\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ffef90007fac5ee47e586a735aab3b328a732a)
les médiateurs sont ensuite
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrr}\mathrm {(AE)} =&5,&\mathrm {(BE)} =&3,\\\mathrm {(AF)} =&33,&\mathrm {(BF)} =&20,\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/744edfa44ee6fcd8d15d178d97cac73c2387b01d)