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PÉRIODIQUES.
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}(\mathrm {AE'} )=\qquad \ \ 93,&(\mathrm {BE'} )=\qquad 32,\\{\underline {(\mathrm {AF'} )=\quad \ \ 1892}},&{\underline {(\mathrm {BF'} )=\quad \ \ 651}},\\(\mathrm {AE''} )=\,\ 178932,&(\mathrm {BE''} )=\,\ 31567,\\(\mathrm {AF''} )=3640207,&(\mathrm {BF''} )=642524\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfbd8d0c3a2a790b4024ee42957cdbc71b8ca72)
ce qui donne pour
les valeurs
et, pour les racines correspondantes de ![{\displaystyle 107y^{2}+1,\ 1,962,1850887.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9875657951bc372ed644aa76a4ba2e933f7c2148)
Exemple IV. Déterminer les valeurs entières de
qui peuvent rendre quarrée l’expression.
En développant en fraction-continue, la racine quarrée de 41, on trouve la base initiale 6, suivie des bases périodiques
de manière qu’on a
![{\displaystyle \alpha =6,\quad a=2,\quad b=2,\quad c=12.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2f889d633ceb971e2ede54e154562ef9557897)
Le nombre des bases de cette période est impair, tandis que nos formules le supposent pair ; mais, comme cette période revient à l’infini, il est permis de doubler le nombre de ses bases ; la période sera ainsi
Le nombre des bases se trouvant alors pair, l’application des formules précédentes pourra avoir lieu. En s’arrêtant, au contraire, à trois bases, on trouvera les valeurs de
qui rendent quarrée l’expression
puisque dans ce cas, on a ![{\displaystyle v=-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47e3ef0dabcb2259865447d1039f097641009c01)
Dans l’un et l’autre cas,
désignera toujours la première base périodique, c’est-à-dire, 2 ; mais, dans le premier,
aurontles valeurs
et
tandis que, dans le second, ces lettres se trouveront remplacées par
et
.
Les valeurs de
qui rendront quarrée l’expression
seront celles des médiateurs
et les racines correspondantes seront
![{\displaystyle \mathrm {(AF\quad )-6(AE'\ \ )=(BE\ \ \ )+6(AE)} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9300e9e7d74f7c52c62470a6d1d8868688d4218a)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad \mathrm {(AF''\,\ )-6(AE''\,\ )=(BE'\ ')+6(AE'')} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c10148328488570e773d34874ed19375b678c33)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad \mathrm {(AF'''')-6(AE'''')=(BE'''')+6(AE'''')} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7eeaebf95429813f64a4cec9e1e772ceddeeeb8)
et, ainsi des autres. Au contraire, les valeurs de
qui rendront quarrée l’expression
seront celles des médiateurs
et les racines correspondantes seront
![{\displaystyle \mathrm {(AF'\ )-6(AE'\ \ )} =\mathrm {(BE'\ )+6(AE')} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a70e5ef8d68fbea650499fafb387e038b0e184)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad \mathrm {(AF''')-6(AE''')} =\mathrm {(BE''')+6(AE''')} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b978cee2e19c9f19ef7f254d1f67d79e81c9137)