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LOGARITHMIQUES.

substituant à $b$ cette valeur dans les équations $\mathrm {(D)}$, et multipliant ensuite toutes les racines par ${\frac {a}{\lambda }}$ on aura pour l’équation principale

$x^{3}+2(\lambda ^{2}+2\lambda +a^{2})x^{2}+(\lambda ^{3}+2\lambda +a^{2})^{2}x+a^{2}\lambda ^{2}(a+\lambda )^{2}=0$

ou

$\left.{\begin{array}{lr}&(x+a^{2})(x+\lambda ^{2})\left[x+(a+\lambda )^{2}\right]=0,\\&{\text{et pour la résultante}}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \\&x\left[x+\lambda ^{2}+2\lambda +a^{2}\right]^{2}=0\end{array}}\right\}\mathrm {(E)}$

10. Si l’on veut que le second terme manque dans l’équation principale, on fera $d+e=0,$

ou

$(a+b)\lambda +ab+(a+b+\lambda )\lambda =0\,;$

ce qui donnera

$b=-{\frac {\lambda (\lambda +2a)}{2\lambda +a}}\,;$

faisant ensuite la substitution, et multipliant toutes les racines par $\pm {\frac {2\lambda +a}{\lambda }}$, les équations $\mathrm {(D)}$ deviendront

$x^{3}-(\lambda ^{2}+2\lambda +a^{2})^{2}x\mp a\lambda (\lambda ^{2}-a^{2})(2\lambda +a)(\lambda +2a)=0$,

ou

$\left.{\begin{array}{lr}&\left[x\pm a(2\lambda +a)\right]\left[x\mp \lambda (\lambda +2a)\right]\left[x\pm (\lambda ^{2}-a^{2})\right]=0,\\{\text{et}}&\\&x\left[x+\lambda ^{2}+2\lambda +a^{2}\right]\left[x-(\lambda ^{2}+2\lambda +a^{2})\right]=0.\end{array}}\right\}\mathrm {(F)}$

11. Enfin, si c’est le troisième terme qu’on veut faire disparaître, on pourra faire $d=0{\text{ ou }}e=0$ c’est-à-dire,

$(a+b)\lambda +ab=0{\text{ ou }}(a+b+\lambda )\lambda =0$.

La seconde hypothèse donne $\lambda =-(a+b)$ et conduit immédiatement