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FORMULES.

à ces deux équatlons

,


ou

par la première hypothèse, qui donne , on parvient au même résultat en multipliant, après la substitution, les racines des deux équations par .

12. On voit, par ce qui précède, avec quelle facilité on peut façonner, pour ainsi dire, une équation du troisième degré, de manière à ce qu’elle ait, ainsi que sa résultante, des racines commensurables. Il n’en est pas de même des équations des degrés supérieurs. Dans le quatrième, par exemple, lorsque l’équation n’est pas privée de son pénultième terme, sa résultante, qui devient alors du troisième degré, devant avoir des racines commensurables, tombe essentiellement dpns le cas irréductible. De plus, outre les difficultés que paraît devoir amener cette circonstance, l’équation principale elle-même donnerait probablement lieu à des expressions qu’on ne saurait rendre rationnelles. Ce n’est, je crois, que dans des cas particuliers qu’on peut trouver, pour les équations des degrés supérieurs au troisième, des formules de composition qui satisfassent aux conditions prescrites, et quelquefois même ces formules deviennent très-compliquées. Parmi les résultats auxquels m’ont conduit les diverses tentatives que j’ai faites, je ne donnerai, dans ce qui va suivre, que les plus simples ou ceux qui pourront fournir une application avantageuse.

13. Le premier membre d’une équation du quatrième degré pouvant toujours être considéré comme le produit de deux facteurs du second, prenons pour équation principale

,