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FRACTIONS-CONTINUES

0=p-qy+ry^{2}

peut être ramenée à

0=\mathrm {L-(M+N)} y+\mathrm {Oy} ^{2},

en déterminant les coefficiens $\mathrm {L,M,N,O,}$ de manière à ce qu’ils satisfassent aux quatre équations suivantes

\mathrm {L} =p,\quad \mathrm {M+N} =q,\quad \mathrm {O} =r,\quad \mathrm {LO-MN} =\nu ~;

la lettre $\nu$ désignant toujours l’unité prise en plus ou en moins, suivant le nombre des bases périodiques est pair ou impair. Il en résulte

{\begin{aligned}&\mathrm {L} =p,&&2\mathrm {M} =q+{\sqrt {q^{2}-4pr+4\nu }},\\&\mathrm {O} =r,&&2\mathrm {N} =q-{\sqrt {q^{2}-4pr+4\nu }},\\\end{aligned}}

Ainsi, pour que l’équation $0=p-qy+ry^{2}$ soit réductible à $0=\mathrm {L-(M+N)} y+\mathrm {O} y^{2},$ sans qu’on soit obligé de développer en fraction-continue périodique, ce qui exige quelquefois qu’on l’évalue d’abord à 40 ou 50 décimales^[1], il faudra que $q^{2}-4pr+4$ ou $q^{2}-4pr-4$ soit un quarré parfait.

C’est ainsi que l’équation $0=13-21y+3y^{2},$ dans laquelle on a $q^{2}-4pr+4=(17)^{2},$ devient $0=13-19y-2y+3y^{2},$ on a alors $\mathrm {L=13,\ M=19\ ,N=2\ ,O=3~;}$ ainsi, dans cet exemple, $\mathrm {LO-MN=+1.}$ De même l’équation $0=17-18y-y+y^{2}~;$ dans laquelle on a $q^{2}-4pr-4=(17)^{2},$ devient $0=17-18y-y+y^{2}~;$ on a alors $\mathrm {L=17,M=18,N=1,O=1~;}$ ainsi, dans cet exemple, $\mathrm {LO-MN=-1.}$

21. Étant proposée l’équation générale du second degré $0=p-qy+ry^{2},$ on peut toujours déterminer un facteur $k$ de manière que l’équation $0=kp-kqy+kry^{2}$ soit réductible à $0=\mathrm {L-(M+N)} y+\mathrm {O} y^{2}.$ Il faudra, pour cela que $(q^{2}-4pr)k^{2}+4\nu$ soit un quarré parfait. $k$

↑ Il est même essentiel d’observer qu’à quelque nombre de chiffres décimaux que l’on pousse l’approximation, on ne saurait jamais avoir une entière confiance dans le résultat qu’on en déduit, si l’on n’a vérifié ce résultat, en remontant, à l’équation du second degré dont il doit être une des racines ; : il peut arriver en effet que la suite, soit des bases initiales, soit des bases périodiques présente, dès les commencemens, une périodicité apparente qui fasse prendre le change sur la véritable loi de la fraction-continue. Au surplus, en procédant par la méthode d’approximation de M. Lagrange, on évite tout embarras sur ce point.
(Note des éditeurs.)

[1] Il est même essentiel d’observer qu’à quelque nombre de chiffres décimaux que l’on pousse l’approximation, on ne saurait jamais avoir une entière confiance dans le résultat qu’on en déduit, si l’on n’a vérifié ce résultat, en remontant, à l’équation du second degré dont il doit être une des racines ; : il peut arriver en effet que la suite, soit des bases initiales, soit des bases périodiques présente, dès les commencemens, une périodicité apparente qui fasse prendre le change sur la véritable loi de la fraction-continue. Au surplus, en procédant par la méthode d’approximation de M. Lagrange, on évite tout embarras sur ce point.
(Note des éditeurs.)

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