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FRACTIONS-CONTINUES
peut être ramenée à
en déterminant les coefficiens
de manière à ce qu’ils satisfassent aux quatre équations suivantes
![{\displaystyle \mathrm {L} =p,\quad \mathrm {M+N} =q,\quad \mathrm {O} =r,\quad \mathrm {LO-MN} =\nu ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f74ba321ca108086353f25b59d89ae8e9957bb)
la lettre
désignant toujours l’unité prise en plus ou en moins, suivant le nombre des bases périodiques est pair ou impair. Il en résulte
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {L} =p,&&2\mathrm {M} =q+{\sqrt {q^{2}-4pr+4\nu }},\\&\mathrm {O} =r,&&2\mathrm {N} =q-{\sqrt {q^{2}-4pr+4\nu }},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dca742bf81c362fed954d6077ea0e277621393c)
Ainsi, pour que l’équation
soit réductible à
sans qu’on soit obligé de développer en fraction-continue périodique, ce qui exige quelquefois qu’on l’évalue d’abord à 40 ou 50 décimales[1], il faudra que
ou
soit un quarré parfait.
C’est ainsi que l’équation
dans laquelle on a
devient
on a alors
ainsi, dans cet exemple,
De même l’équation
dans laquelle on a
devient
on a alors
ainsi, dans cet exemple,
21. Étant proposée l’équation générale du second degré
on peut toujours déterminer un facteur
de manière que l’équation
soit réductible à
Il faudra, pour cela que
soit un quarré parfait.
- ↑ Il est même essentiel d’observer qu’à quelque nombre de chiffres décimaux que l’on pousse l’approximation, on ne saurait jamais avoir une entière confiance dans le résultat qu’on en déduit, si l’on n’a vérifié ce résultat, en remontant, à l’équation du second degré dont il doit être une des racines ; : il peut arriver en effet que la suite, soit des bases initiales, soit des bases périodiques présente, dès les commencemens, une périodicité apparente qui fasse prendre le change sur la véritable loi de la fraction-continue. Au surplus, en procédant par la méthode d’approximation de M. Lagrange, on évite tout embarras sur ce point.
(Note des éditeurs.)