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QUESTIONS.
pour
![{\displaystyle \mathrm {M} {\begin{cases}x,\\y;\end{cases}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31363f0f60157363ecbed830f4699759e53d66c)
pour
![{\displaystyle m{\begin{cases}\alpha ,\\\beta ;\end{cases}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a240fcd155c778da694a6bbe03edd5362cc98ff2)
pour
![{\displaystyle m'{\begin{cases}\alpha ',\\\beta ';\end{cases}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5020674a45b1785e377a0f402fa4c51b90420bf0)
pour
![{\displaystyle m''{\begin{cases}\alpha '',\\\beta '';\end{cases}}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877f0b0149f0b11ca01a5295625486b630b764dd)
on aura
![{\displaystyle z={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}},\ z'={\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}},\ z''={\sqrt {(x-\alpha '')^{2}+(y-\beta '')^{2}}},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7255c749e1b484129eaaf68926a3c00bb6d45d0b)
en désignant donc par
la somme des distances du point
aux points
on aura
![{\displaystyle \mathrm {S} ={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}+{\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}}+{\sqrt {(x-\alpha '')^{2}+(y-\beta '')^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/622353155db8e94a195902fdeea4a09012be6590)
or, par les conditions du problème,
doit être un minimum ; d’où il suit qu’on doit avoir, à la fois,
![{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {dS} }{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\tfrac {\mathrm {dS} }{\operatorname {d} y}}=0~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec3fc50f5db5bdbcd676993cf33c8d321b6a67d8)
c’est-à-dire
![{\displaystyle {\tfrac {x-\alpha }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}}+{\tfrac {x-\alpha '}{\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}}}+{\tfrac {x-\alpha ''}{\sqrt {(x-\alpha '')^{2}+(y-\beta '')^{2}}}}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f1f7ef794ca90fce6481278e1dc29161543efe)
![{\displaystyle {\tfrac {y-\beta }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}}+{\tfrac {y-\beta '}{\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}}}+{\tfrac {y-\beta ''}{\sqrt {(x-\alpha '')^{2}+(y-\beta '')^{2}}}}+\ldots =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2f3c22486026638a00bf254752a8aca5407da33)
Voilà donc deux équations entre les coordonnées
et
du point cherché
, ce qui, théoriquement parlant, suffit pour la détermination de ce point ; mais malheureusement ces équations, par leur extrême complication, ne peuvent être, dans le plus grand nombre des cas, d’un grand secours pour la résolution complète du problème.
Soient désignés respectivement par
les angles que forment, avec l’axe des
, les droites
menées du point
aux points
; à l’aide de ces notations, les équations auxquelles nous venons de parvenir prendront cette forme très-simple
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .a'+\operatorname {Cos} .a''+\operatorname {Cos} .a'''+\ldots =&0,\\\operatorname {Sin} .a+\ \operatorname {Sin} .a'+\,\operatorname {Sin} .a''+\,\operatorname {Sin} .a'''+\ldots =&0\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be12ec3a7fdf7ae1c3e7f4ac2efb3bea8f2303a3)