Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/296

286

QUESTIONS.

pour $\mathrm {M} {\begin{cases}x,\\y;\end{cases}}\quad$ pour $m{\begin{cases}\alpha ,\\\beta ;\end{cases}}\quad$ pour $m'{\begin{cases}\alpha ',\\\beta ';\end{cases}}\quad$ pour $m''{\begin{cases}\alpha '',\\\beta '';\end{cases}}\cdots$

on aura

$z={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}},\ z'={\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}},\ z''={\sqrt {(x-\alpha '')^{2}+(y-\beta '')^{2}}},\ldots$

en désignant donc par $\mathrm {S}$ la somme des distances du point $\mathrm {M}$ aux points $m,\ m',\ m'',\ldots ,$ on aura

$\mathrm {S} ={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}+{\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}}+{\sqrt {(x-\alpha '')^{2}+(y-\beta '')^{2}}}+\ldots$

or, par les conditions du problème, $\mathrm {S}$ doit être un minimum ; d’où il suit qu’on doit avoir, à la fois,

${\tfrac {\mathrm {dS} }{\operatorname {d} x}}=0,\qquad {\tfrac {\mathrm {dS} }{\operatorname {d} y}}=0~;$

c’est-à-dire

${\tfrac {x-\alpha }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}}+{\tfrac {x-\alpha '}{\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}}}+{\tfrac {x-\alpha ''}{\sqrt {(x-\alpha '')^{2}+(y-\beta '')^{2}}}}+\ldots =0,$

${\tfrac {y-\beta }{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}}+{\tfrac {y-\beta '}{\sqrt {(x-\alpha ')^{2}+(y-\beta ')^{2}}}}+{\tfrac {y-\beta ''}{\sqrt {(x-\alpha '')^{2}+(y-\beta '')^{2}}}}+\ldots =0,$

Voilà donc deux équations entre les coordonnées $x$ et $y$ du point cherché $\mathrm {M}$, ce qui, théoriquement parlant, suffit pour la détermination de ce point ; mais malheureusement ces équations, par leur extrême complication, ne peuvent être, dans le plus grand nombre des cas, d’un grand secours pour la résolution complète du problème.

Soient désignés respectivement par $a,\ a',\ a'',\dots ,$ les angles que forment, avec l’axe des $x$, les droites $z'\ z',\ z'',\dots$ menées du point $\mathrm {M}$ aux points $m,\ m',\ m'',\dots$ ; à l’aide de ces notations, les équations auxquelles nous venons de parvenir prendront cette forme très-simple

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .a+\operatorname {Cos} .a'+\operatorname {Cos} .a''+\operatorname {Cos} .a'''+\ldots =&0,\\\operatorname {Sin} .a+\ \operatorname {Sin} .a'+\,\operatorname {Sin} .a''+\,\operatorname {Sin} .a'''+\ldots =&0\,;\end{aligned}}$