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QUESTIONS.

et l’on aura en outre

$(a-x)^{2}+(b-y)^{2}=r^{2}$

les conditions du minimum seront donc

$\mathrm {d} x\operatorname {Sin} .\gamma +\mathrm {d} y(1-\operatorname {Cos} .\gamma )=0~;$

$(a-x)\mathrm {d} x+(b-y)\mathrm {d} y=0~;$

équations entre lesquelles éliminant ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},$ on se trouvera avoir, pour déterminer le point $\mathrm {Z}$, les deux équations

$(a-x)^{2}+(b-y)^{2}=r^{2},\qquad b-y=(a-x)\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\gamma .$

Ainsi, le point $\mathrm {Z}$ se trouvera à l’intersection du cercle décrit du point $\mathrm {O}$ comme centre, avec, pour rayon, et de la parallèle menée, par son centre, à la droite qui divise l’angle donné en deux parties égales ; le problème aura donc analitiquement deux solutions ; mais la situation du point $\mathrm {Z}$ la plus voisine du sommet de l’angle donné sera la seule admissible, dans l’hypothèse que nous considérons ici.

Cherchons, dans cette hypothèse, ce que devient l’expression de $\mathrm {S}$. Les deux équations qui doivent déterminer le point $\mathrm {Z}$ donnent, pour ce point

$x=a-r\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ,\qquad y=b-r\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ~;$

d’un autre côté, la valeur de $\mathrm {S}$ peut être écrite ainsi :

$\mathrm {S} =r+2x\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\gamma \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\gamma +2y\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\gamma ~;$

aura donc, en substituant et réduisant,

$\mathrm {S} =2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\gamma (a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{2}+b\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{2})+r(1-2\operatorname {Sin} .\gamma ).$

Si actuellement nous supposons qu’on rende à $r$ son indétermina-