Ainsi l’angle donné (fig. 4) étant de et la droite le divisant en deux parties égales ; si, par le point donné , on mène à une parallèle indéfinie ; en quelque lieu qu’on établisse le point sur cette parallèle, la somme des trois distances sera toujours la même et moindre que si le point était hors de cette direction.
Il faut pourtant observer que comme, hors des limites et , le minimum n’a plus lieu que eu égard au changement du signe de quelqu’une des trois distances il est nécessaire que le point ne sorte pas de ces limites, si l’on veut, comme l’exige la question, que ce soit la somme de leurs valeurs absolues qui soit un minimum.
Si, analitiquement parlant, il ne peut y avoir de minimum, lorsque l’angle donné est différent de ; c’est uniquement parce que l’analise suppose que le point cherché peut être quelconque sur le plan de l’angle donné, et qu’elle est obligée de faire entrer en considération les changemens qu’entraînent, dans les lignes des distances, leurs changemens de situation ; c’est parce qu’elle ne peut exprimer, ni que le point cherché ne doit point sortir de l’angle donné, ni que la somme des trois distances doit être prise indépendamment du signe qui peut affecter chacune d’elles. On conçoit en effet que, eu égard à ces limitations ; cette somme ne peut plus décroitre indéfiniment ; et comme, d’un autre côté, elle ne saurait être constante pour toutes les situations que peut prendre le point cherché sans sortir des limites qui lui sont assignées, elle doit alors être susceptible d’un minimum. Essayons de déterminer à quelle situation du point cherché il peut répondre.
Pour cela supposons d’abord que le point (fig. 3), au lieu d’être absolument indéterminé, soit assujéti, dans ses variations, à être constamment à une même distance connue du point donné, ou, ce qui revient au même, à être toujours sur la circonférence d’un cercle ayant le point pour centre et, pour rayon ; la valeur générale de deviendra alors
