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QUESTIONS.

$\mathrm {Z}$ tel qu’en le joignait au point $\mathrm {O}$ par la droite $\mathrm {ZO}$ et au côté $\mathrm {AB}$ par la perpendiculaire $\mathrm {ZN}$, on ait $\mathrm {ZO+ZN} =$minimum.

Solution. En adoptant les mêmes conventions et dénominations que ci-dessus, et faisant $\mathrm {S=ZO+ZN,}$ la valeur de $\mathrm {S}$ particulière à la question présente se déduira de sa valeur générale en y faisant $y=0~;$ on aura donc

$\mathrm {S} =x\operatorname {Sin} .\gamma +{\sqrt {(a-x)^{2}+b^{2}}}~;$

égalant ensuite ${\frac {\mathrm {dS} }{\mathrm {d} x}}$ à zéro, il viendra

$\operatorname {Sin} .\gamma ={\frac {a-x}{\sqrt {(a-x)^{2}+b^{2}}}},$

d’où

$a-x=b\operatorname {Tang} .\gamma$

équation qui, combinée avec l’équation $y=0$ qui convient au point $\mathrm {Z}$, peut prendre cette forme

$y+b=-{\frac {1}{\operatorname {Tang} .\gamma }}(x-a)~;$

le point $\mathrm {Z}$ n’est donc autre chose que l’intersection de $\mathrm {AC}$ avec une perpendiculaire abaissée sur $\mathrm {AB}$ d’un point dont les coordonnées sont $a$ et $b$.

On construira donc comme il suit ; on abaissera du point $\mathrm {O}$ sur $\mathrm {AC}$ la perpendiculaire $\mathrm {OE}$ que l’on prolongera au-delà du point $\mathrm {E}$ d’une quantité $\mathrm {EF=EO}$ abaissant alors du point $\mathrm {F}$ sur $\mathrm {AB}$ la perpendiculaire $\mathrm {FN}$ coupant $\mathrm {AC}$ en $\mathrm {Z}$, on aura $\mathrm {ZO+ZN=}$minimum, comme il est facile de s’en assurer par des considérations géométriques ; de manière que le point $\mathrm {Z}$ sera le point cherché.

Toutes les fois donc (fig. 6) qu’on aura $\mathrm {Ang.OKC>Ang.NKA}$ (et cela arrivera toujours lorsqu’on aura $\operatorname {Ang} .\mathrm {BAC} >60^{\circ }$), le point cherché devra être situé entre $\mathrm {K}$ et $\mathrm {A}$, et construit comme il vient d’être