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RÉSOLUES.
diagonales est double de la distance entre les centres des deux quadrilatères simples auxquels ces diagonales appartiennent.
Démonstration. Soient faits (fig. 17)
![{\displaystyle \mathrm {A''A} =a,\quad \mathrm {A''A'} =a',\quad \mathrm {A''B} =b,\quad \mathrm {A''B'} =b'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f5b4146e32ebb73dcc570f0107929e4b344759)
Soient
les milieux respectifs des diagonales
par les deux points soit menée une droite coupant
en
.
Soient pris le point
poux origine des coordonnées, la droite
pour axe des
et la droite
pour axe des
.
L’équation de
![{\displaystyle \mathrm {BA'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb66865c057bf486491d73c3145564f276c38da5)
est
![{\displaystyle bx+a'y=a'b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b91a420c65577480a9352f49784127a9bb645a5)
L’équation de
![{\displaystyle \mathrm {B'A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af160cbe55864e2406be86fe5d92efeacc8cc0c6)
est
![{\displaystyle b'x+ay=ab'~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6b3c1ee3a971251087a7c7fbcea21a1c73a6755)
les équations du point
sont donc.
![{\displaystyle x={\frac {aa'(b-b')}{ab-a'b'}},\quad y={\frac {bb'(a-a')}{ab-a'b'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef28f6cd92525e07849abaa9d8cdb8bcda09d773)
On a ainsi
pour l’équation de ![{\displaystyle \mathrm {A''B''} ,\qquad aa'(b-b')y=bb'(a-a')x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6ca98c35f4c5e12f781c4de5542f480e2c3b50)
Les équations de
![{\displaystyle \mathrm {M} \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a332e2c59e61fa714ec475a1e74ade14111034d)
sont
![{\displaystyle \qquad x={\tfrac {1}{2}}a,\quad y={\tfrac {1}{2}}b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175e48d90c4ed8a07e37feb391e4432c4789e96e)
Les équations de
![{\displaystyle \mathrm {M'} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934f42efdd6fa430645b78a935f3c515f6d83c12)
sont
![{\displaystyle \qquad x={\tfrac {1}{2}}a',\quad y={\tfrac {1}{2}}b'~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23d1cbac6cb6f9e7801892cc480c69c159e97f93)
on a donc
pour l’équation de ![{\displaystyle \mathrm {MM'} ,\qquad 2(a-a')y-2(b-b')x=ab'-ba'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce28daa21dd4a86400bbbd72f8164ea4d820c14)
Combinée avec celle de
, elle donne pour les équations de ![{\displaystyle \mathrm {M''} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41b2064e37f2bf6ed2e307823f90f924098bca7b)
![{\displaystyle {\frac {aa'(b-b')}{2(ab-a'b')}},\qquad y={\frac {bb'(a-a')}{2(ab-a'b')}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecde186e3bb73f7785f46256180e5edae8c07332)
les coordonnées de
sont donc respectivement moitiés de celles de
le point
est donc le milieu de
; ainsi 1.o les milieux des trois diagonales sont sur une même ligne droite.
Soient
les milieux respectifs des trois distances