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LOGARITHMIQUES.

On voit par là que, dans ce cas, les racines de l’équation principale ne sont autre chose que les valeurs des côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle, prises en plus et en moins, et que les deux racines effectives de la résultante sont la valeur de l’hypoténuse du même triangle, prise également en plus et en moins.

2.^o Lorsque $\delta =2$, les équations $\mathrm {(H)}$ deviennent

$x^{2}\left[x+m+p\right]^{2}=0$,

et

$\left[x^{2}+2mx+m(m-p)\right]\left[x^{2}+2px+p(p-m)\right]=0\,;$

ou

$\left[x+m-{\sqrt {mp}}\right]\left[x+m+{\sqrt {mp}}\right]\left[x+p-{\sqrt {mp}}\right]\left[x+p+{\sqrt {mp}}\right]=0$,

équations qui, en faisant $m=a^{2}{\text{ et }}p=b^{2}$, se changent en

$\left.{\begin{array}{lr}&x^{2}\left[x+a^{2}+b^{2}\right]^{2}=0,\\{\text{et}}&\\&\left[x+2(a-b)\right]\left[x+2(a+b)\right]\left[x-b(a-b)\right]\left[x+b(a+b)\right]=0,\\{\text{ou}}&\\&x^{4}+2(a^{2}+b^{2})x^{3}+(a^{2}+b^{2})x^{3}+(a^{2}+b^{2})^{2}x^{2}-a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}=0.\\\end{array}}\right\}\mathrm {(K)}$

15. Revenons maintenant à la question générale. L’équation principale $\mathrm {(H)}$ fournit les deux suivantes

$x^{2}+m\delta x+m(m-p)(\delta -1)=0$,

et

$x^{2}+p\delta x+p(p-m)(\delta -1)=0\,;$

la première de celle-ci donne

$x={\frac {-m\delta \pm {\sqrt {m^{2}(\delta -2)^{2}+4mp(\delta -1)}}}{2}}$,

et, en faisant

$m^{2}(\delta -2)^{2}+4mp(\delta -1)=\left[m(\delta -2)+2p\lambda \right]^{2}=m^{2}(\delta -2)^{2}+4mp\lambda (\delta -2)+4p^{2}\lambda ^{2}$,